7.3 Pôles et polaire

Au chapitre 6, nous avons étudié l’inversion qui nous permet de transformer des droites et des cercles en des droites et des cercles. Nous allons maintenant introduire une nouvelle transformation que l’on appelle la polarisation, qui nous permet de transformer des points en droites et des droites en points. Cela mettra en évidence la dualité entre points et droites que nous avons déjà commencé à remarquer dans la section précédente.

Définition 7.3.1.

Si $P$ est un point et $\Gamma$ un cercle de centre $O$ , alors on définit la polaire du point $P$ par rapport à $\Gamma$ comme étant une droite $d$ perpendiculaire à $OP$ et passant par l’inverse de $P$ par rapport à $\Gamma$ . De plus, si $d$ est la polaire de $P$ , alors on dit que $P$ est le pôle de $d$ .

Si $P$ est à l’extérieur du cercle, la polaire de $P$ coupera le cercle en deux points.

Si, au contraire, $P$ est à l’intérieur du cercle, la polaire de $P$ sera à l’extérieur du cercle.

Si $P$ est sur le cercle, la polaire de $P$ sera la tangente au cercle à ce point. Finalement, si $P$ est le centre du cercle, alors la polaire de $P$ est la droite à l’infini. La transformation qui transforme les points en leur polaire et les droites en leur pôle porte le nom de polarisation et la figure ainsi obtenu porte le nom de figure duale.

Théorème 7.3.1:

Théorème de La Hire. Si $P$ est un point sur la polaire de $Q$ , alors $Q$ est un point sur la polaire de $P$ .

Démonstration.

Prenons $\Gamma$ un cercle de centre $O$ et de rayon $r$ , et prenons un point $P$ . On dénote par $P^{\prime}$ l’inverse du point $P$ et prenons $Q$ un point sur la polaire de $P$ différent de $P^{\prime}$ . On dessine la perpendiculaire à $OQ$ passant par le point $P$ et on dénote le point d’intersection par $R$ . Par AA, les triangles $\triangle OP^{\prime}Q$ et $\triangle OPR$ sont semblables. On a donc:

\frac{OP}{OQ}=\frac{OR}{OP^{\prime}}\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ OQ\cdot OR=OP\cdot OP^{\prime}=r^{2}

Donc $R$ est l’inverse de $Q$ . La droite $PR$ est donc la polaire de $Q$ , et donc $P$ est sur la polaire de $Q$ .

∎

Théorème 7.3.2:

Tangente et polaire. Si $\Gamma$ est un cercle et $P$ un point à l’extérieur du cercle. Supposons de plus que $A$ et $B$ sont des points du cercle de sorte que $AP$ et $BP$ sont tangentes au cercle. Alors, la droite $AB$ est la polaire de $P$ .

Démonstration.

Dénotons par $O$ le centre du cercle et par $r$ son rayon. Remarquons que $OAPB$ est un cerf-volant. Par le théorème des cerf-volants (Théorème 2.4.4), on a donc que $OP$ est la médiatrice de $AB$ . En particulier, si l’on dénote par $Q$ le point d’intersection de $AB$ et $OP$ , alors $\angle PQA=90^{\circ}$ .

Par AA, les triangles $\triangle OAP$ et $\triangle OAQ$ sont semblables. On a donc:

\frac{OA}{OQ}=\frac{OP}{OA}\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ OP\cdot OQ=OA^{2}=r^{2}

Le point $Q$ est donc l’inverse du point $P$ . Comme $AB$ est perpendiculaire à $OP$ et passe par l’inverse de $P$ , la droite $AB$ est donc la polaire de $P$ . ∎

Théorème 7.3.3:

Polaire et division harmonique. Supposons que $P$ est un point à l’extérieur d’un cercle $\Gamma$ et $Q$ un point à l’intérieur. Supposons de plus que la droite $PQ$ coupe le cercle en des points $A$ et $B$ . Alors $Q$ est sur la polaire de $P$ si et seulement si $(A,B;P,Q)=-1$ .

Démonstration.

$(\Rightarrow)$ Supposons que $Q$ soit sur la polaire de $P$ . Supposons que $C$ et $D$ soient des points du cercle de sorte que les droites $PC$ et $PD$ soient tangentes au cercle.

Par le théorème de Stewart (Théorème 3.1.1) on a donc:

PD^{2}\cdot CQ+PC^{2}\cdot DQ=CD(PQ^{2}+CQ\cdot DQ)

Par la puissance d’un point (ou par Pythagore) on a que $PC\cong PD$ , ce qui nous donne:

PC^{2}(CQ+DQ)=CD(PQ^{2}+CQ\cdot DQ)

PC^{2}\cdot CD=CD(PQ^{2}+CQ\cdot DQ)

PC^{2}=PQ^{2}+CQ\cdot DQ

Maintenant, par la puissance d’un point (Théorème 5.3.1), on sait que $PA\cdot PB=PC^{2}$ et $QA\cdot QB=QC\cdot QD$ . Notre équation devient donc:

PA\cdot PB=PQ^{2}+AQ\cdot BQ

PA\cdot PB=(PA+AQ)(PB-BQ)+AQ\cdot BQ

PA\cdot PB=PA\cdot PB-PA\cdot BQ+AQ\cdot PB-AQ\cdot BQ+AQ\cdot BQ

PA\cdot BQ=AQ\cdot PB

\frac{\nicefrac{{AP}}{{AQ}}}{\nicefrac{{BP}}{{BQ}}}=1

En considérant l’ordre des points, on obtient donc $(A,B;P,Q)=-1$ .

$(\Leftarrow)$ Supposons que $(A,B;P,Q)=-1$ et posons $R$ le point d’intersection entre la droite $PQ$ et la polaire de $P$ . Par la première partie de la démonstration, on doit donc avoir $(A,B;P,R)=-1$ . Comme $(A,B;P,Q)=(A,B;P,R)$ , alors par le théorème du ratio anharmonique (Théorème 7.2.1) on a $Q=R$ . Le point $Q$ est donc sur la polaire de $P$ . ∎

Théorème 7.3.4:

Théorème de Brocard. Supposons que $ABCD$ est un quadrilatère inscrit dans un cercle. On dénote par $P$ le point d’intersection de $AB$ et $CD$ , par $Q$ le point d’intersection de $AD$ et $BC$ et par $E$ le point d’intersection de $AC$ et $BD$ . Alors le droite $QE$ est la polaire de $P$ et la droite $PE$ est la polaire de $Q$ .

Démonstration.

On pose $F$ le point d’intersection entre les droites $QE$ et $AB$ et par $G$ le point d’intersection de $QE$ et $CD$ .

En appliquant les théorèmes de Ceva (Théorème 3.2.1) et de Ménélaus (Théorème 3.3.1) au triangle $\triangle QCD$ , on obtient

\frac{QB}{BC}\cdot\frac{CG}{GD}\cdot\frac{DA}{AQ}=1\leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \textrm{ et }\leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \frac{QB}{BC}\cdot\frac{CP}{PD}\cdot% \frac{DA}{AQ}=1

En combinant ces deux équations, on a donc:

\frac{CG}{GD}=\frac{CP}{PD}\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \frac{\nicefrac{{CP}}{{CG}}}{\nicefrac{{DP}}{{DG}}}=1

En considérant l’ordre des points, on a donc $(C,D;P,G)=-1$ . Maintenant, par l’invariance du ratio anharmonique (Théorème 7.2.2), en utilisant le point $Q$ comme centre, on obtient $(B,A;P,F)=(C,D;P,G)=-1$ . Par le théorème sur les polaires et la division harmonique (Théorème 7.3.3), les points $F$ et $G$ sont tous deux sur la polaire du point $P$ . La polaire du point $P$ est donc la droite $FG$ , qui n’est en fait rien d’autre que la droite $QE$ . De la même façon, on peut démontrer que $PE$ est la polaire du point $Q$ . ∎

En fait, on peut aller plus loin. Dans la configuration du théorème de Brocard, la droite $PQ$ est en fait la polaire du point $E$ . Il vous est laissé comme exercice de le démontrer.

Théorème 7.3.5:

Droites concourantes versus points alignés. Trois points sont alignés si et seulement leur polaires sont concourantes.

Démonstration.

Exercice. ∎

À noter que le théorème précédent pourrait également être énoncé en disant que trois droites sont concourantes si et seulement si leurs pôles sont alignés.

Théorème 7.3.6:

Côtés d’un triangle et tangentes aux cercles circonscrit. Si $\triangle ABC$ est un triangle et $\Gamma$ le cercle circonscrit du triangle. On dénote par $X,Y$ et $Z$ les points d’intersection d’un côté du triangle avec la tangente au cercle passant par le sommet opposé. Alors les points $X,Y$ et $Z$ sont alignés.

Démonstration.

Il existe plusieurs façons de démontrer ce théorème. Nous allons en présenter deux.

À l’aide des pôles et polaires: Premièrement, remarquons que comme $A,B$ et $C$ sont sur le cercle, ils sont leur propre inverse. Les droites $FX,DY$ et $DZ$ sont donc les polaires des points $A,B$ et $C$ respectivement. De plus, par le théorème des tangentes et polaires (Théorème 7.3.2), les droites $BX,CY$ et $BZ$ sont les polaires des points $D,E$ et $F$ respectivement.

Par le théorème de La Hire (Théorème 7.3.1), comme $X$ est sur la polaire de $A$ , alors $A$ est sur la polaire de $X$ . De la même façon, comme $X$ est sur la polaire de $D$ , alors $D$ est sur la polaire de $X$ . La polaire de $X$ doit donc être la droite $AD$ . En utilisant la même idée, la droite $BE$ est la polaire de $Y$ et la droite $CF$ est la polaire de $Z$ . Par le théorème LABEL:th:tangenteSymmediane, les droites $AD,BE$ et $CF$ sont les symmédianes du triangle. Par le théorème 4.6.2, les trois symmédianes d’un triangle sont concourantes en un point que l’on appelle le point de Lemoine. Par le théorème 7.3.5, les pôles des droites $AD,BE$ et $BF$ sont alignés, c’est à dire que les points $X,Y$ et $Z$ sont alignés.

À l’aide du théorème de Desargues Comme les droites $AD,BE$ et $CF$ sont sont les symmédianes du triangle $\triangle ABC$ , elles sont concourantes au point de Lemoine. Les triangles $\triangle ABC$ et $\triangle DEF$ sont donc en perspective par rapport à une droite. Par le théorème de Desargues (Théorème 7.2.5), les deux triangles sont aussi en perspective par rapport à une droite. C’est à dire que les points $X,Y$ et $Z$ sont alignés. ∎

Théorème 7.3.7:

Théorème de Brianchon. Supposons que $ABCDEF$ est un hexagone circonscrit à un cercle (C’est à dire que chacun des côtés de l’hexagone est tangent au cercle), alors les droites $AD,BE$ et $CF$ sont concourantes.

Démonstration.

Exercice. ∎