3.1 Le théorème de Stewart

Le théorème de Stewart est un théorème nous permettant de calculer la longueur d’une cévienne, c’est à dire d’un segment reliant un sommet d’un triangle au côté opposé. Il a été formulé pour la première fois par Matthew Stewart au XVIII^e siècle, mais était probablement connu dès l’antiquité.

Théorème 3.1.1:

Théorème de Stewart. Si $\triangle ABC$ est un triangle, et $D$ est un point sur le segment $BC$ , alors:

AB^{2}\cdot CD+AC^{2}\cdot BD=BC(AD^{2}+BD\cdot CD)

Démonstration.

On commence par dessiner la hauteur du triangle $\triangle ABC$ issue du sommet $A$ , et on dénote le point d’intersection de cette hauteur avec la droite $BC$ par $E$ .

En applicant le théorème de Pythagore (Théorème 2.6.3) au côté $AB$ et $AC$ respectivement, on obtient:

$\displaystyle AB^{2}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle BE^{2}+AE^{2}=BE^{2}+AD^{2}-DE^{2}=AD^{2}+(BE+DE)(BE-DE)$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle AD^{2}+BD(BE-DE)$

$\displaystyle AC^{2}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle AE^{2}+CE^{2}=AD^{2}-DE^{2}+CE^{2}=AD^{2}+(CE-DE)(CE+DE)$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle AD^{2}+CD(CE+DE)$

En combinant ces deux équations, on obtient donc:

$\displaystyle AB^{2}\cdot CD+AC^{2}\cdot BD$	$\displaystyle=$	$\displaystyle AD^{2}\cdot CD+CD\cdot BD(BE-DE)+AD^{2}\cdot BD+BD\cdot CD(CE+DE)$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle AD^{2}(CD+BD)+BD\cdot CD(BE-DE+CE+DE)$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle AD^{2}\cdot BC+BD\cdot CD\cdot BD$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle BC(AD^{2}+BD\cdot CD)$

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