5.3 Puissance et axe radical

Définition 5.3.1.

Si $\Gamma$ est un cercle de centre $O$ et de rayon $r$ , et $M$ un point quelconque du plan, alors on définit la puissance du point $M$ par rapport à $\Gamma$ comme étant ${\cal P}_{\Gamma}(M)=MO^{2}-r^{2}$ .

Remarquez que la puissance du point $M$ est positive si $M$ est à l’extérieur du cercle et négative si $M$ est à l’intérieur du cercle. De plus, si $M$ est sur le cercle, alors la puissance est $0$ .

Théorème 5.3.1:

Théorème de la puissance. La puissance d’un point a les propriétés suivantes:

1.

Si $M$ est un point à l’extérieur d’un cercle $\Gamma$ , et $A,B$ des points du cercle tel que $M,A$ et $B$ sont aligné, alors $MA\cdot MB={\cal P}_{\Gamma}(M)$ .
2.

Si $M$ est un point à l’intérieur d’un cercle $\Gamma$ , et $A,B$ des points du cercle tel que $A,M$ et $B$ sont aligné, alors $MA\cdot MB=-{\cal P}_{\Gamma}(M)$ .
3.

Si $M$ est un point à l’extérieur d’un cercle $\Gamma$ , et $A$ un point du cercle, alors la droite $MA$ est tangente au cercle si et seulement si ${\cal P}_{\Gamma}(M)=MA^{2}$ .

Démonstration.

1.

Supposons que $M$ est un point à l’extérieur d’un cercle $\Gamma$ , et prenons $A,B,C,D$ des points du cercle tel que $M,A,B$ sont aligné et $M,C,D$ sont aligné comme sur la figure ci-contre. On remarque donc que les angles $\angle MBC$ et $\angle ADM$ sont congrus par le théorème des angles inscrits. Ceci nous permet donc d’affirmer que les triangles $MBC$ et $MDA$ sont semblables par AA. Les côtés de ces deux triangles sont donc proportionnel, ce qui nous permet d’obtenir $\frac{MB}{MD}=\frac{MC}{MA}$ . En réarrangeant les termes on obtient donc

$MA\cdot MB=MC\cdot MD.$

Donc peut importe comment les points $A,B,C,D$ sont placé, tant qu’ils sont alignés le produit reste constant. en particulier, si $CD$ est un diamètre du cercle (et donc le segment $MD$ passe par le centre du cercle), alors on obtient $MA\cdot MB=MC\cdot MD$ . Si on dénote le rayon du cercle par $r$ , alors il est facile de voir que $MC=MO-r$ et $MD=MO+r$ . En combinant ces équations, on obtient:

$MA\cdot MB=MC\cdot MD=(MO-r)(MO+r)=MO^{2}-r^{2}={\cal P}_{\Gamma}(M)$
2.

L’idée est très semblable à la démonstration de la partie précédente. Supposons que $M$ est à l’intérieur du cercle, et que $A,B,C,D$ sont 4 points comme sur la figure ci-contre. Par le théorème de l’angle inscrit, on a $\angle ADC\cong\angle ABC$ et $\angle DAB\cong DCB$ . On obtient donc que les triangles ADM et BCM sont semblables. Comme les côtés sont proportionnels, on obtient donc l’égalité:

$MA\cdot MB=MC\cdot MD.$

Maintenant, si on suppose que $r$ est le rayon du cercle et si on place les points de sorte que $AB$ soit un diamètre du cercle, alors on obtient:

$MA\cdot MB=MC\cdot MD$

De la figure, il est facile de voir que

$MA=r+MO\textrm{ et }MB=r-MO,$

ce qui nous permet d’obtenir:

$MC\cdot MD=(r+MO)\cdot(r-MO)=r^{2}-MO^{2}=-{\cal P}_{\Gamma}(M)$
3.

Supposons premièrement que $MC$ est une droite tangente au cercle, et supposons que $A$ et $B$ sont les points d’intersection de la droite $MO$ avec le cercle. Comme la droite $MC$ est tangente au cercle, alors l’angle $\angle MCO$ est un angle droit. Par le théorème de Pythagore (Théorème 2.6.3) on a donc $MO^{2}=MC^{2}+CO^{2}$ . En posant $r$ comme étant le rayon du cercle, on obtient donc: $MC^{2}=MO^{2}-r^{2}={\cal P}_{\Gamma}(M)$ .

Pour l’autre direction, il suffit de remarquer que si $C$ n’est pas le point de tangence, alors la droite $MC$ doit croiser le cercle en un second point $D$ . Dans ce cas, nous avons $MO^{2}-r^{2}=MC\cdot MD\neq MC\cdot MC=MC^{2}$ .

∎

Définition 5.3.2.

Si $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$ sont deux cercles distincts, alors on définit l’axe radical de ces deux cercles comme étant l’ensemble des points $M$ du plan tel que ${\cal P}_{\Gamma_{1}}(M)={\cal P}_{\Gamma_{2}}(M)$ .

Théorème 5.3.2:

Théorème de l’axe radical. L’axe radical de deux cercles est toujours une droite perpendiculaire au segment reliant le centre de chacun des cercles. De plus,

1.

si les deux cercles se croisent en deux points, l’axe radical est la droite passant par ces deux points.
2.

si les deux cercles possèdent un seul point d’intersection (i.e. ils sont tangent), alors l’axe radical passe par le point de tangence.

Démonstration.

Supposons que $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$ sont des cercles de centre $O_{1}$ et $O_{2}$ respectivement, et de rayon $r_{1}$ et $r_{2}$ respectivement. Nous allons faire la démonstration en plusieurs étapes.

Dans un premier temps nous allons montrer qu’il existe exactement un point sur la droite $O_{1}O_{2}$ qui fait partie de l’axe radical. Supposons qu’il existe au moins un point $Q$ sur la droite $O_{1}O_{2}$ qui fait partie de l’axe radical. On a donc $P_{\Gamma_{1}}(Q)=P_{\Gamma_{2}}(Q)$ , ce qui nous donne $QO_{1}^{2}-r_{1}^{2}=QO_{2}^{2}-r_{2}^{2}$ . En réarrageant les termes, on obtient $QO_{1}^{2}-QO_{2}^{2}=r_{1}^{2}-r_{2}^{2}$ . Sans perte de généralité, nous allons supposer que $r_{1}\geq r_{2}$ , ce qui signifie que $QO_{1}\geq QO_{2}$ . En posant $r_{1}^{2}-r_{2}^{2}=k$ , on obtient $QO_{1}^{2}-QO_{2}^{2}=k\geq 0$ . Donc $Q$ peut soit être entre $M$ et $O_{2}$ , ou bien être à l’extérieur du segmnet $O_{1}O_{2}$ (du côté de $O_{2}$ ).

Supposons que $Q$ se trouve entre $M$ et $O_{2}$ . On a donc:

$\displaystyle QO_{1}^{2}-QO_{2}^{2}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle k$
$\displaystyle(QO_{1}+QO_{2})(QO_{1}-QO_{2})$	$\displaystyle=$	$\displaystyle k$
$\displaystyle O_{1}O_{2}(O_{1}M+QM-(MO_{2}-QM))$	$\displaystyle=$	$\displaystyle k$
$\displaystyle O_{1}O_{2}(O_{1}M+QM-MO_{2}+QM)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle k$
$\displaystyle O_{1}O_{2}(2QM)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle k$
$\displaystyle QM$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{k}{2\leavevmode\nobreak\ O_{1}O_{2}}$

Remarquez que cette dernière équation nous permet de situé exactement le point $Q$ . Ce dernier doit donc être unique. De plus, il est facile de vérifier que le point $Q$ définie par cette égalité se trouve bien sur l’axe radical.

Le cas où $Q$ se trouve à l’extérieur du segment $O_{1}O_{2}$ se fait de manière similaire et est laissé en exercice. Notez que dans ce cas nous obtenons exactement la même équation, et donc la même conclusion.

Dans ce qui suit, nous allons supposer que $Q$ est un point de l’axe radical se trouvant sur la droite $O_{1}O_{2}$ et que $Q$ se trouve entre $M$ et $O_{2}$ . Les autres cas étant similaire, ils vous sont laissé en exercice. Supposons que $R$ est un autre point se trouvant sur la droite perpendiculaire à $O_{1}O_{2}$ et qui passe par $Q$ comme sur la figure ci-dessous.

Dans ce cas, en appliquant le théorème de Pythagore (Théorème 2.6.3), on obtient:

	$\displaystyle{\cal P}_{\Gamma_{1}}(R)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle RO_{1}^{2}-r_{1}^{2}=QO_{1}^{2}+QR^{2}-r_{1}^{2}={\cal P}_{% \Gamma_{1}}(Q)+QR^{2}={\cal P}_{\Gamma_{2}}(Q)+QR^{2}$
		$\displaystyle=$	$\displaystyle QO_{2}^{2}-r_{2}^{2}+QR^{2}=RO_{2}^{2}-r_{2}^{2}={\cal P}_{% \Gamma_{2}}(R)$

Donc le point $R$ se trouve aussi sur l’axe radical.

Supposons que $O_{1}$ et $O_{2}$ sont le centre des cercles $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$ qui ont respectivement des rayons de longueur $r_{1}$ et $r_{2}$ . Supposons que $Q$ est le point de la droite $O_{1}O_{2}$ qui fait partie de l’axe radical, et supposons que $R$ est un autre point quelconque du plan qui fait partie de l’axe radical. Finalement, supposons que $S$ est la projection orthogonale de $R$ sur la droite $O_{1}O_{2}$ .

Par définition de l’axe radical, nous avons donc $P_{\Gamma_{1}}(R)=P_{\Gamma_{2}}(R)$ , ce qui nous donne:

$\displaystyle O_{1}R^{2}-r_{1}^{2}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle O_{2}R^{2}-r_{2}^{2}$
$\displaystyle O_{1}S^{2}+SR^{2}-r_{1}^{2}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle O_{2}S^{2}+SR^{2}-r_{2}^{2}$
$\displaystyle O_{1}S^{2}-r_{1}^{2}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle O_{2}S^{2}-r_{2}^{2}$
$\displaystyle P_{\Gamma_{1}}(S)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle P_{\Gamma_{2}}(S)$

Le point $S$ fait donc partie de l’axe radical. Comme il existe un seul point sur la droite $O_{1}O_{2}$ qui fait partie de l’axe radical, nous avons $S=Q$ . Le point $R$ se trouve donc sur la droite perpendiculaire à $O_{1}O_{2}$ qui passant par le point $Q$ . L’axe radical est donc une droite perpendiculaire au segment reliant le centre de chacun des cercles.

4.

Nous avons vu que la puissance d’un point se trouvant directement sur le cercle est $0$ . Donc si deux cercles ont deux points d’intersection, alors ces points ont une puissance de $0$ par rapport à chacun des deux cercles. Ils sont donc sur l’axe radical. L’axe radical étant une droite, cette droite est complètement définie par les deux points d’intersection.
5.

Finalement, si deux cercles sont tangents, alors ils possèdent exactement un point d’intersection. Ce dernier aura une puissance de $0$ par rapport à chacun des deux cercles. Il fait donc partie de l’axe radical.

∎

Théorème 5.3.3:

Construction de l’axe radical. Dessiner à l’aide d’une règle non graduée et d’un compas l’axe radical de deux cercles donnés.

Cas 1: Les cercles ont deux points d’intersection. Dans ce cas, nous savons que l’axe radical est une droite passant par les deux points d’intersection. Pour dessiner l’axe radical, il est donc suffisant de dessiner une droite passant par les deux points d’intersection.

Cas 2: Les cercles n’ont aucun point d’intersection. Dans ce cas, on utilise des cercles auxiliaires. On commence par dessiner un cercle (en bleu) qui intersecte les deux $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$ . Ceci nous permet de dessiner l’axe radical du cercle par rapport à chacun des deux cercles $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$ . Le point d’intersection de ces deux axes radicaux nous donne donc un point qui a la même puissance avec chacun des trois cercles, et donc fait partie de l’axe radical que nous souhaitons dessiner.

Ensuite, on dessine un autre cercle auxiliaire (en vert) puis on répète la même étape que précédemment pour obtenir un second point de l’axe radical des cercles $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$ . À partir des deux points que nous avons obtenus, il nous est maintenant possible de dessiner l’axe radical.

Cas 3: Les cercles sont tangent. Dans ce cas, nous savons que le point de tangence est un point de l’axe radical. Pour dessiner l’axe radical, nous avons donc deux options. La première option consiste à trouver un second point de l’axe radical en utilisant la méthode décrite dans le 2e cas. La deuxième option consiste à dessiner une droite perpendiculaire à la droite reliant le centre de chacun des cercles et passant par le point de tangence.