7.1 Introduction

Dans les cinq premiers chapitres, nous nous sommes intéressés à la géométrie euclidienne. Cette dernière est construite à partir des cinq axiomes d’Euclide, qui mettent en évidence l’importance de la règle non graduée et du compas. Au chapitre 6, nous avons commencé l’étude des géométries non-euclidiennes en étudiant l’inversion, qui nous a forcés à ajouter un point à l’infini. L’ajout de ce point à l’infini nous permet de considérer les droites comme un cercle de rayon infini. Il n’y a donc plus de différence entre des droites et des cercles. Le théorème de Mascheroni vient confirmer cette idée en affirmant qu’avec l’aide de l’inversion, toutes les constructions qui peuvent être réalisées à l’aide d’une règle non-graduée et d’un compas peuvent être réalisées à l’aide de seulement un compas. La géométrie inversive est donc la géométrie du compas.

Ceci nous amène donc à nous poser deux questions importantes. Est-ce que toutes les constructions qui peuvent être réalisées à l’aide d’une règle non graduée et d’un compas peuvent être réalisées uniquement à l’aide d’une règle non graduée ? Quelle serait la géométrie de la règle non graduée ?

Bien qu’un théorème de Steiner affirme que toutes les constructions que nous pouvons réaliser à l’aide d’une règle non graduée et d’un compas peuvent être effectuées uniquement à l’aide d’un compas, à condition qu’un cercle et son centre nous soient donnés, le problème général n’est pas résoluble. Une simple règle non graduée n’est pas suffisante pour réaliser toutes les constructions de la géométrie euclidienne. La raison vient du fait que le compas est nécessaire pour mesurer une distance. Cette notion de distance est essentielle en géométrie euclidienne.

La géométrie de la règle non graduée est la géométrie projective. Une géométrie dans laquelle les longueurs et les angles n’ont pas de signification intrinsèque. Bien que cette géométrie puisse paraître très restrictive, son origine vient pourtant d’une problématique très concrète provenant du domaine des beaux arts. Comment dessiner correctement une scène en perspective ? Si l’on dessine une scène en préservant les distances et les parallèles, la perspective sera incorrecte et le résultat obtenu n’aura rien de convaincant. Regardez, par exemple, le plancher en damier sur le dessin "The birth of St Edmund". ¹¹ 1 Bien que cette image soit libre de droits d’auteur, l’idée de l’utiliser pour illustrer l’absence de perspective provient de [Stillwell] , qui date du 15^e siècle. les droites sont dessinées parallèles et chaque carré de même grandeur. Pourtant, la perspective en trois dimensions n’est pas convaincante. Par contre, lorsque l’on regarde une photo réelle, comme la photo d’une rue à Halifax, on remarque que les droites sont bien traduites sous forme de droites, mais celles qui devraient normalement être parallèles se rencontrent en fait à un point à l’horizon que l’on appelle point à l’infini. Des artistes italiens du 15^e siècle ont découvert que, pour réaliser la construction correctement, seule la règle est en fait nécessaire.

Pour illustrer cette idée, nous allons donc regarder comment construire un damier en perspective en utilisant uniquement une règle non graduée. L’idée est de commencer avec un quadrilatère $A,B,C,D$ que nous allons considérer comme le premier carré de notre damier. Étant donnée la perspective, les côtés opposés ne peuvent pas être "réellement" parallèles. En prolongeant chacun des côtés opposés, on obtient donc des points d’intersection $E$ et $F$ qui représentent les points d’intersection de nos droites "parallèles". Il s’agit donc de points à l’infini, et la droite $E,F$ sera donc une droite à l’infini. Ensuite, remarquons que les diagonales sur un damier sont aussi parallèles, et donc doivent se rencontrer sur la droite à l’infini. En dessinant la droite $A,C$, on peut donc obtenir le point $G$ qui représente l’intersection des diagonales. Pour le reste de la construction, il suffit de dessiner des droites reliant respectivement les points $E,F$ et $G$ à chacun des points d’intersection sur notre damier.

Cette découverte par les peintres italiens est relativement simple, mais elle permet de créer des peintures beaucoup plus réalistes. D’un point de vue mathématique, il est intéressant de voir que pour dessiner un damier en perspective, il n’est pas nécessaire de mesurer quoi que ce soit, alors que la figure réelle en trois dimensions devrait avoir chacune des cases de même dimension. C’est cette idée qui mena au développement de la géométrie projective.

Avant de nous lancer dans la géométrie projective proprement parlé, nous allons commencer par étudier quelques théorèmes classiques de la géométrie euclidienne qui sont de nature projective, c’est à dire ne nécessitant pas l’utilisation du compas. Bien qu’il ne soit pas possible, dans un contexte projectif, de mesurer la longueur d’un segment, il est cependant possible de parler du ratio des longueurs de deux segments se trouvant sur une même droite. Cet outil nous sera essentiel dans le reste du chapitre.