7.2 Le plan projectif et le ratio anharmonique

Dans le chapitre précédent, nous avons introduit le plan inversif, qui consiste en un plan euclidien auquel on ajoute un seul point à l’infini par lequel toutes les droites passent. Comme nous l’avons vu dans la section précédente, un seul point à l’infini n’est cependant pas suffisant pour l’étude de la géométrie projective. Nous allons donc introduire la notion de plan projectif.

Définition 7.2.1.

Le plan projectif consiste en l’ensemble des points et des droites du plan euclidien, auquel on ajoute un point à l’infini pour chaque droite euclidienne, de sorte que deux droites euclidiennes parallèles passent par le même point à l’infini, mais que deux droites euclidiennes sécantes passent par des points à l’infini distincts. On ajoute ensuite une droite à l’infini passant par tous les points à l’infini.

Dans le plan projectif, les notions de distance ou d’angle n’ont plus de sens, du moins pas directement. Il nous est donc nécessaire de mettre de côté toutes les notions concernant les triangles congruents et semblables qui étaient au coeur de la géométrie euclidienne et de faire appel à un nouvel invariant. Il s’agira du ratio anharmonique.

Définition 7.2.2.

Si $A,B,C$ et $D$ sont $4$ points euclidiens alignés sur une même droite, alors on définit le ratio anharmonique que l’on dénote par $(A,B;C,D)$ comme étant:

(A,B;C,D)=\frac{\nicefrac{{\overline{AC}}}{{\overline{AD}}}}{\nicefrac{{% \overline{BC}}}{{\overline{BD}}}}

Dans le cas particulier où $(A,B;C,D)=-1$ , on dit que les points $A,B,C$ et $D$ sont en division harmonique.

Remarquez qu’ici nous introduisons la géométrie projective à partir des concepts de la géométrie euclidienne, ce qui explique la présence de la longueur du segment dans notre définition du ratio anharmonique. Notez cependant que nous allons très bientôt étendre le ratio anharmonique pour inclure les points à l’infini.

Théorème 7.2.1:

Théorème du ratio anharmonique. Si $A,B,C,D$ et $X$ sont $5$ points alignés sur une même droite tel que $(A,B;C,D)=(A,B;C,X)$ , alors $D=X$ .

Démonstration.

Exercise. ∎

Théorème 7.2.2:

Invariance du ratio anharmonique. Supposons que $A,B,C$ et $D$ sont $4$ points du plan euclidien sur une même droite, et $O$ un point à l’extérieur de la droite. Supposons qu’une autre droite intersecte les droites $OA,OB,OC$ et $OD$ en des points $A^{\prime},B^{\prime},C^{\prime}$ et $D^{\prime}$ respectivement. Alors on a l’égalité suivante:

(A,B;C,D)=(A^{\prime},B^{\prime};C^{\prime},D^{\prime})

Démonstration.

Il s’agit d’appliquer la loi des sinus (Théorème 2.8.3). Nous allons supposer que les points $A,B,C$ et $D$ sont placés dans cet ordre sur une droite de sorte que le ratio soit positif. On a donc:

$\displaystyle(A,B;C,D)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{\nicefrac{{AC}}{{AD}}}{\nicefrac{{BC}}{{BD}}}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{AC}{AD}\cdot\frac{BD}{BC}=\frac{\nicefrac{{OC\cdot\sin(% \angle AOC)}}{{\sin(\angle CAO)}}}{\nicefrac{{OD\cdot\sin(\angle AOD)}}{{\sin(% \angle DAO)}}}\cdot\frac{\nicefrac{{OD\cdot\sin(\angle BOD)}}{{\sin(\angle DBO% )}}}{\nicefrac{{OC\cdot\sin(\angle BOC)}}{{\sin(\angle CBO)}}}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{\nicefrac{{\sin(\angle AOC)}}{{\sin(\angle CAO)}}}{% \nicefrac{{\sin(\angle AOD)}}{{\sin(\angle DAO)}}}\cdot\frac{\nicefrac{{\sin(% \angle BOD)}}{{\sin(\angle DBO)}}}{\nicefrac{{\sin(\angle BOC)}}{{\sin(\angle CBO% )}}}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{\sin(\angle AOC)\cdot\sin(\angle BOD)\cdot\sin(\angle DAO)% \cdot\sin(\angle CBO)}{\sin(\angle CAO)\cdot\sin(\angle DBO)\cdot\sin(\angle AOD% )\cdot\sin(\angle BOC)}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{\sin(\angle AOC)\cdot\sin(\angle BOD)}{\sin(\angle AOD)% \cdot\sin(\angle BOC)}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{\nicefrac{{\sin(\angle AOC)}}{{\sin(\angle AOD)}}}{% \nicefrac{{\sin(\angle BOC)}}{{\sin(\angle BOD)}}}$

On obtient donc que le ratio anharmonique dépend uniquement des angles formés au point $O$ . Il est donc indépendant de la droite choisie. On a donc:

(A,B;C,D)=(A^{\prime},B^{\prime};C^{\prime},D^{\prime})

∎

Remarquez que le théorème précédent nous permet de définir le ratio anharmonique pour $4$ droites concourantes. En effet, si $a,b,c$ et $d$ sont $4$ droites concourantes en un point $O$ , et si $A,B,C$ et $D$ sont des points se trouvant respectivement sur les droites $a,b,c$ et $d$ , alors on peut définir:

(a,b;c,d)=\frac{\nicefrac{{\sin(\angle AOC)}}{{\sin(\angle AOD)}}}{\nicefrac{{% \sin(\angle BOC)}}{{\sin(\angle BOD)}}}

Maintenant, pour le cas où l’un ou plusieurs des points dans le ratio anharmonique sont un point à l’infini, on applique le théorème précédent pour transformer les quatre points en quatre nouveaux points qui sont tous euclidiens et ayant le même ratio anharmonique. La même idée s’applique dans le cas où l’on veut calculer le ratio anharmonique de $4$ droites lorsque l’une des quatre est la droite à l’infini ou bien les quatre sont concourantes en un point à l’infini.

L’idée du ratio anharmonique est donc un concept applicable à la fois aux points et aux droites. Ceci introduit donc une forme de dualité qui joue un rôle particulièrement important en géométrie projective et qui nous permet, d’une certaine manière, d’interchanger le rôle des points et des droites.

Théorème 7.2.3:

Divisision harmonique et les cercles. Supposons que $P$ est un point sur un cercle $\Gamma$ et $A,B,C,D$ quatre points alignés sur une même droite. Si on dénote par $A^{\prime},B^{\prime},C^{\prime}$ et $D^{\prime}$ les points d’intersection de $PA,PB,PC$ et $PD$ respectivement avec le cercle, alors on a:

\frac{\nicefrac{{AC}}{{AD}}}{\nicefrac{{BC}}{{BD}}}=\frac{\nicefrac{{A^{\prime% }C^{\prime}}}{{A^{\prime}D^{\prime}}}}{\nicefrac{{B^{\prime}C^{\prime}}}{{B^{% \prime}D^{\prime}}}}

Démonstration.

Exercice. ∎

Théorème 7.2.4:

Théorème de Pappus. Si $A,B,C$ sont trois points d’une même droite et $A^{\prime},B^{\prime},C^{\prime}$ sont trois points d’une autre droite. On dénote par la lettre $X$ le point d’intersection des droites $AB^{\prime}$ et $A^{\prime}B$ , par la lettre $Y$ le point d’intersection des droites $AC^{\prime}$ et $A^{\prime}C$ , et par la lettre $Z$ le point d’intersection des droites $BC^{\prime}$ et $B^{\prime}C$ . Alors les points $X$ , $Y$ et $Z$ sont sur une même droite.

Démonstration.

Premièrement, rappelons-nous que chaque paire de droites a un unique point d’intersection. S’il ne s’agit pas d’un point euclidien, il s’agit d’un point à l’infini, mais cela ne fait aucune différence pour le rapport anharmonique.

On dessine la droite $YZ$ et on dénote son point d’intersection avec $AB^{\prime}$ par $X^{\prime}$ , son point d’intersection avec $A^{\prime}B$ par $X^{\prime\prime}$ et son point d’intersection avec $AC$ par $P$ . Notez que cette droite a volontairement été dessiné courbe sur la figure ci-dessous pour illustrer le fait que nous ne savons pas à ce point si les points $X$ , $X^{\prime}$ et $X^{\prime\prime}$ sont identiques. C’est ce que nous voulons démontrer. Pour nous aider dans la démonstration, nous identifions par les lettres $D,E,F$ et $G$ les autres points d’intersection, comme sur la figure ci-dessous. En utilisant le théorème sur l’invariance du ratio anharmonique (Théorème 7.2.2), on a donc:

$\displaystyle(Y,Z;P,X^{\prime})$	$\displaystyle=$	$\displaystyle(G,Z;C,B^{\prime})\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \textrm{Centre % en }A$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle(Y,E;C,A^{\prime})\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \textrm{Centre % en }C^{\prime}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle(Y,Z;P,X^{\prime\prime})\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak% \ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \textrm{% Centre en }B$

En utilisant le théorème du ratio anharmonique (Théorème 7.2.1), on obtient donc que $X^{\prime}=X^{\prime\prime}$ . Comme $X^{\prime}$ est le point d’intersection entre les droites $YZ$ et $AB^{\prime}$ et que le point $X^{\prime\prime}$ est le point d’intersection entre les droites $YZ$ et $A^{\prime}B$ , alors le point $X^{\prime}=X^{\prime\prime}$ est le point d’intersection entre les droites $AB^{\prime}$ et $A^{\prime}B$ . Il s’agit donc du point $X$ , ce qui confirme que les points $X,Y$ et $Z$ sont alignés sur une même droite.

∎

Comme nous l’avons déjà mentionné, les mesures de longueur ou d’angle n’ont pas de sens en géométrie projective. Ceci signifie qu’il n’est pas non plus possible de parler de congruence ou de similitude des triangles, à moins, bien entendu, de se restreindre aux points euclidiens du plan projectif. Plutôt que de parler de triangles congrus ou semblables, en géométrie projective, nous allons plutôt nous intéresser aux triangles qui sont en perspective, soit par rapport à un point, soit par rapport à une droite.

Définition 7.2.3.

Si $\triangle ABC$ et $\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ sont deux triangles du plan projectif, on dit alors que

1.

les deux triangles sont en perspective par rapport à un point si les droites $AA^{\prime},BB^{\prime}$ et $CC^{\prime}$ sont concourantes.
2.

Les deux triangles sont en perspective par rapport à une droite si le point d’intersection des droites $AB$ et $A^{\prime}B^{\prime}$ , le point d’intersection des droites $AC$ et $A^{\prime}C^{\prime}$ et le point d’intersection des droites $BC$ et $B^{\prime}C^{\prime}$ sont alignés sur une même droite.

Le théorème de Desargues que nous allons voir immédiatement nous affirme que ces deux types de perspective sont en fait équivalents. Ceci illustre à nouveau la dualité qui existe en géométrie projective entre les points et les droites.

Théorème 7.2.5:

Théorème de Desargues. Si $\triangle ABC$ et $\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ sont des triangles alors ils sont en perspective par rapport à un point (C’est à dire les droites $AA^{\prime}$ , $BB^{\prime}$ et $CC^{\prime}$ sont concourantes) si et seulement si elles sont en perspective par rapport à une droite (C’est à dire que le point d’intersection de $AB$ et $A^{\prime}B^{\prime}$ , le point d’intersection de $AC$ et $A^{\prime}C^{\prime}$ et le point d’intersection de $BC$ et $B^{\prime}C^{\prime}$ sont alignés)

Démonstration.

La méthode est très semblable à ce que nous avons fait pour la démonstration du théorème de Pappus. Dessinez la droite $XY$ et dénotez par $Z^{\prime}$ son point d’intersection avec la droite $BC$ et par $Z^{\prime\prime}$ son point d’intersection avec la droite $B^{\prime}C^{\prime}$ . Utilisez ensuite des égalités des rapports anharmoniques centrés en $B$ , $P$ et $B^{\prime}$ respectivement pour démontrer que $Z,Z^{\prime}$ et $Z^{\prime\prime}$ sont en fait un seul et même point. Les détails vous sont laissés en exercice. Notez que la droite en rouge sur la figure ci-dessous a volontairement été dessinée courbe.

∎

Théorème 7.2.6:

Théorème de l’hexagone de Pascal. Si $A,B,C,D,E$ et $F$ sont des points distincts se trouvant sur un même cercle, et si on dénote par $P$ le point d’intersection des droites $AB$ et $DE$ , par $Q$ le point d’intersection des droites $BC$ et $EF$ et par $R$ le point d’intersection des droites $CD$ et $AF$ , alors les points $P,Q$ et $R$ sont alignés.

Démonstration.

La démonstration vous est laissée en exercice. L’idée est d’appliquer le théorème de Ménélaus au triangle $\triangle XYZ$ illustré ci-dessous.

∎

Il y a un fait particulièrement intéressant en lien avec le théorème de l’hexagone de Pascal (Théorème 7.2.6). En géométrie projective, comme les longueurs des segments ne sont pas définies, il est impossible de distinguer un cercle d’une autre conique (Ellipse, parabole et hyperbole). Le théorème de l’hexagone est donc valide non pas seulement pour $6$ points se trouvant sur un cercle, mais plutôt pour n’importe quels $6$ points se trouvant sur une conique. La définition d’une conique, au sens de la géométrie projective, dépasse cependant le niveau du cours. Nous ne traiterons donc pas le théorème de l’hexagone dans toute sa généralité.