4.6 Le théorème du ratio de Steiner et les symmédianes

Les médianes, médiatrices, bissectrices et hauteurs d’un triangle sont des droites particulièrement connu et font maintenant parti du folklore de la géométrie. Elles sont souvent rencontré dans les cours de mathématiques du secondaire, et même dès le cours primaire pour ce qui est des hauteurs. Chacune de ces droites possède de nombreuses propriétés particulièrement remarquables.

Les droites que nous allons étudier dans cette section sont sont beaucoup moins connu et ont été introduite beaucoup plus récemment dans l’histoire. Il s’agit de droites qui sont la symétrie d’une cévienne par rapport à la bissectrice issue du même sommet. Jakob Steiner (1796-1863) , mathématicien suisse, s’intéresse au problème vers le milieu du XIX^e siècle et découvert le théorème que l’on appelle aujourd’hui le théorème du ratio de Steiner. C’est cependant le cas particulier où la cévienne est la médiane qui est le plus intéressant. Une telle droite porte le nom de symmédianne. Elles ont été introduite par le mathématicien et ingénieur civil français Émile Lemoine (1840-1912) à la fin du XIX^e siècle. Ces droites ont de nombreuses propriétés qui rappellent celles des médianes, médiatrices, bissectrices et hauteurs d’un triangle. Bien qu’à priori elles puissent sembler particulièrement artificielle par la définition, nous verrons dans le prochain chapitre qu’elles apparaissent au contraire de manière tout à fait naturel.

Théorème 4.6.1:

Théorème du ratio de Steiner. Si $\triangle ABC$ est un triangle, $E$ le point d’intersection entre la bissectrice issue du sommet $A$ et la droite $BC$ , $D$ un point quelconque du segment $BC$ et $F$ le point d’intersection entre la droite $BC$ et la réflexion de la droite $AD$ par rapport à la bissectrice $AE$ , alors:

\frac{AB^{2}}{AC^{2}}=\frac{BF\cdot BD}{CF\cdot CD}

Démonstration.

La démonstration repose sur $4$ applications de la loi des sinus (Théorème 2.8.3), suivi d’une simplification algébrique. Mais avant, remarquons que comme $\angle BAE\cong\angle EAC$ par définition de la bissectrice et $\angle FAE\cong\angle EAD$ par définition d’une réflexion, alors on a:

\angle AFB=\angle BAE-\angle FAE=\angle EAC-\angle EAD=\angle DAC

\angle BAD=\angle BAE+\angle EAD=\angle EAC+\angle FAE=\angle FAC

De plus, par définition de la fonction sinus, nous avons:

\sin(\angle BAF)=\sin(180-\angle CFA)=\sin(\angle CFA)\leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \textrm{ et }\sin(\angle ADB)=\sin(1% 80-\angle CDA)=\sin(\angle CDA)

En applicant la loi des sinus, nous obtenons donc les $4$ équations suivantes:

\left\{\begin{array}[]{l}\triangle ABF:\leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \frac{BF}{\sin(\angle BAF)}=\frac{AB}{\sin(% \angle AFB)}\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \frac{BF}{\sin(\angle DAC)}=\frac{AB}{\sin(\angle CFA)}\leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ BF=\frac{AB\sin(\angle DAC)}{\sin(% \angle CFA)}\\ \triangle ABD:\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \frac{BD}{\sin(\angle BAD)}=\frac{AB}{\sin(\angle ADB)}\leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \frac{BD}{\sin(\angle FAC)}=\frac{AB% }{\sin(\angle CDA)}\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ BD=\frac{AB\sin(\angle FAC)}{\sin(\angle CDA)}\\ \triangle ACD:\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \frac{CD}{\sin(\angle DAC)}=\frac{AC}{\sin(\angle CDA)}\leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ CD=\frac{AC\sin(\angle DAC)}{\sin(% \angle CDA)}\\ \triangle ACF:\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \frac{CF}{\sin(\angle FAC)}=\frac{AC}{\sin(\angle CFA)}\leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ CF=\frac{AC\sin(\angle FAC)}{\sin(% \angle CFA)}\end{array}\right.

Ce qui nous permet finalement d’obtenir:

\frac{BF\cdot BD}{CF\cdot CD}=\frac{\frac{AB\sin(\angle DAC)}{\sin(\angle CFA)% }\cdot\frac{AB\sin(\angle FAC)}{\sin(\angle CDA)}}{\frac{AC\sin(\angle FAC)}{% \sin(\angle CFA)}\cdot\frac{AC\sin(\angle DAC)}{\sin(\angle CDA)}}=\frac{AB^{2% }\sin(\angle DAC)\sin(\angle FAC)\sin(\angle CFA)\sin(\angle CDA)}{AC^{2}\sin(% \angle CFA)\sin(\angle CDA)\sin(\angle FAC)\sin(\angle DAC)}=\frac{AB^{2}}{AC^% {2}}

∎

Le théorème du ratio de Steiner s’applique à n’importe quelle cévienne $AD$ , cependant le cas le plus important est celui dans le cas où la cévienne en question est la médiane. Nous allons donc sans plus tarder définir formellement ce que l’on appelle une symmédiane.

Définition 4.6.1.

Dans un triangle, on appelle symmédiane la réflexion d’une médiane du triangle par rapport à bissectrice issue du même sommet.

Théorème 4.6.2:

Les symmédianes sont concourantes. Les trois symmédiane d’un triangle sont concourantes en un point que l’on appelle le point de Lemoine.

Démonstration.

Exercice. ∎

Définition 4.6.2.

Si $\triangle ABC$ est un triangle et $D,E$ des points sur les segments $AB$ et $AC$ respectivement. On dit que la droite $DE$ est antiparallèle à la droite $BC$ si $\angle EDA\cong\angle ACB$ et $\angle AED\cong\angle CBA$ .

Théorème 4.6.3:

Lieu des points des symmédianes. La symmédiane issue du sommet $A$ d’un triangle $\triangle ABC$ est le lieu des points qui passe par le point milieu des antiparallèles au côté $BC$ .

Démonstration.

Exercice. Attention à ne pas oublier de démontrer les deux directions. ∎