3.3 Le théorème de Menelaus

Le théorème de Ménélaus est très similaire au théorème de Ceva, à la différence que maintenant nous sommes intéressés à vérifier si trois points sont alignés sur une même droite. L’équation nous permettant de le vérifier est en fait pratiquement identique à celle du théorème de Ceva, à la différence que maintenant exactement $0$ ou $2$ des trois points doivent se trouver à l’intérieur des côtés du triangle.

Théorème 3.3.1:

Théorème de Menelaus. Si $\triangle ABC$ est un triangle, et $D,E,F$ des points sur les droites $BC,AC$ et $AB$ respectivement, alors les points $D,E$ et $F$ sont alignés si et seulement si

\frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}\cdot\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}% \cdot\frac{\overline{CE}}{\overline{EA}}=-1

Démonstration.

$(\Rightarrow)$ Supposons que les points $D,E$ et $F$ sont alignés. Dans ce cas, il n’est pas très difficile de se convaincre qu’exactement $0$ ou $2$ des trois points doivent se trouver à l’intérieur des côtés du triangle. Le produit des rapports orientés doit donc être négatif. On dessine une parallèle à la droite $AB$ passant par le point $C$ . On dénote le point d’intersection de cette droite avec la droite $DF$ par la lettre $X$ .

Par AA, les triangles $\triangle CDX$ et $\triangle BDF$ sont semblables. On a donc l’égalité suivante:

\frac{BD}{CD}=\frac{BF}{CX}

De plus, encore par AA, les triangles $\triangle CEX$ et $\triangle AEF$ sont semblables. On a donc l’égalité suivante:

\frac{CE}{AE}=\frac{CX}{AF}

Ceci nous permet donc d’affirmer que:

\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BF}{% CX}\cdot\frac{CX}{AF}=1

$(\Leftarrow)$ Exercice. ∎