3.2 Le théorème de Ceva

Le théorème de Ceva est un théorème particulièrement puissant nous permettant de déterminer si trois droites reliées à un triangle sont concourantes, c’est-à-dire si elles ont un point d’intersection commun. Bien que nous allons étudier ce théorème dans le contexte de la géométrie euclidienne pour le moment, il s’agit en fait d’un théorème de géométrie projective. Ceci est dû en partie au fait qu’il ne fait pas de différence entre droites sécantes et droites parallèles.

Il existe plusieurs façons d’énoncer le théorème. La version qui sera présentée ci-dessous fait appel à la notion de rapport orienté que nous allons définir immédiatement.

Définition 3.2.1.

Si $A,B$ et $X$ sont trois points alignés sur une même droite, alors on définit le rapport orienté comme suit:

\frac{\overline{AX}}{\overline{XB}}=\left\{\begin{array}[]{l}\frac{AX}{XB}% \textrm{ Si $X$ est entre $A$ et $B$}\\[10.0pt] -\frac{AX}{XB}\textrm{ Autrement}\end{array}\right.

En d’autre mot le rapport est défini comme étant positif si la flèche allant de $A$ vers $X$ est dans la même direction que la flèche allant de $X$ vers $B$ . Le rapport est défini comme étant négatif autrement.

Dans la définition précédente, il est important de réaliser qu’il n’est absolument pas ici question de vecteurs. D’ailleurs, la division de vecteurs n’est pas définie. L’expression $\overline{AX}$ n’a aucune signification en soi, seulement dans le contexte d’un rapport. De plus, pour que le rapport soit bien défini, il est essentiel de considérer trois points se trouvant sur une même droite.

Théorème 3.2.1:

Théorème de Ceva. Si $\triangle ABC$ est un triangle, $D,E,F$ des points sur les droites $BC,AC$ et $AB$ respectivement, alors $AD,BE$ et $CF$ sont concourantes ou parallèles si et seulement si

\frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}\cdot\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}% \cdot\frac{\overline{CE}}{\overline{EA}}=1

Notez que le théorème pourrait être réécrit sans utiliser les rapports orientés en ajoutant l’hypothèse qu’exactement $1$ ou $3$ des points $D,E$ et $F$ se trouvent à l’intérieur des côtés du triangle (et non pas sur leur prolongement).

Il existe de nombreuses démonstrations de ce théorème. Celle que nous proposons ci-dessous est basée sur le théorème des aires et proportions d’un triangle (Théorème 2.5.2). En exercice, vous devriez démontrer à nouveau ce théorème, mais en utilisant plutôt des triangles semblables. Pour ce faire, on commence par dessiner une droite parallèle à $BC$ passant par $A$ , et on prolonge les droites $BE$ et $CF$ .

Démonstration.

$(\Rightarrow)$ Premièrement, remarquons que si les droites sont concourantes ou parallèles, alors exactement $1$ ou $3$ des points se trouve à l’intérieur des côtés du triangles. Le produit des ratios orientés sera donc positif.

Supposons que les droites $AD,BE$ et $CF$ sont concourantes. En appliquant le théorème des aires et proportions dans un triangle (Théorème 2.5.2) aux triangles $\triangle ABC$ et $\triangle BOC$ on obtient:

\frac{[ABD]}{[ACD]}=\frac{BD}{CD}\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \textrm{ et }% \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \frac{[BOD]}{[COD]}=\frac{BD}{CD}

De plus, nous savons que $[ABD]=[ABO]+[BOD]$ et $[ACD]=[AOC]+[COD]$ . En combinant toutes ces équations, on obtient donc:

\frac{[ABO]+[BOD]}{[AOC]+[COD]}=\frac{[BOD]}{[COD]}

Puis, en simplifiant cette équation, on obtient:

[COD]\Big{(}[ABO]+[BOD]\Big{)}=[BOD]\Big{(}[AOC]+[COD]\Big{)}

[COD]\cdot[ABO]=[BOD]\cdot[AOC]

\frac{[ABO]}{[AOC]}=\frac{[BOD]}{[COD]}=\frac{BD}{CD}

En appliquant la même méthode, il est relativement facile d’obtenir les deux équations suivantes:

\frac{[ABO]}{[BOC]}=\frac{AE}{CE}\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \textrm{ et }% \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \frac{[AOC]}{[BOC]}=\frac{AF}{BF}

En combinant toutes ces équations, on obtient finalement:

\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=\frac{[AOC]}{[BOC]}\cdot% \frac{[ABO]}{[AOC]}\cdot\frac{[BOC]}{[ABO]}=1

Maintenant, supposons que $AD,BE$ et $CF$ sont trois droites parallèles. Dans ce cas, par AA, nous avons que les triangles $\triangle BAD$ et $\triangle BFC$ sont semblables et de même pour les triangles $\triangle CAD$ et $\triangle CEB$ . On a donc:

\frac{BA}{BF}=\frac{BD}{BC}\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \frac{BF-AF}{BF}=\frac{BC-DC}{BC}\leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \frac{AF}{BF}=\frac{DC}{BC}

\frac{CA}{CE}=\frac{CD}{CB}\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \frac{CE-AE}{CE}=\frac{CB-DB}{CB}\leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \frac{AE}{CE}=\frac{DB}{CB}

Ceci nous permet donc d’obtenir:

\frac{AF}{FB}\cdot\frac{DB}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=\frac{DC}{BC}\cdot\frac{DB}{% DC}\cdot\frac{CB}{DB}=1

$(\Leftarrow)$ Supposons que $D,E$ et $F$ sont des points sur les droites $BC,AC$ et $AB$ respectivement, et supposons que

\frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}\cdot\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}% \cdot\frac{\overline{CE}}{\overline{EA}}=1

Supposons premièrement que les droites $BE$ et $CF$ ne sont pas parallèles. Posons $O$ le point d’intersection de $BE$ et $CF$ , et posons $X$ le point d’intersection de $AO$ et $BC$ . Comme les droites $AX$ , $BE$ et $CF$ sont concourantes (au point $O$ ), par la première partie de la démonstration, nous avons:

\frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}\cdot\frac{\overline{BX}}{\overline{XC}}% \cdot\frac{\overline{CE}}{\overline{EA}}=1

En égalant les deux équations, simplifiant, et ignorant l’orientation, on obtient:

\frac{BD}{DC}=\frac{BX}{XC}\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \frac{BC-DC}{DC}=\frac{BC-XC}{XC}\leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \frac{BC}{DC}=\frac{BC}{XC}% \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \Rightarrow% \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ DC=XC

L’orientation nous permet d’affirmer que $D$ et $X$ sont tous deux du même côté de $C$ . Comme ils sont à la même distance, on doit donc avoir $D=X$ . Les droites $AD$ , $BE$ et $CF$ doivent donc être concourantes.

D’un autre côté, si $BE$ et $CF$ sont parallèles, alors on procède de la même façon et posant $X$ un point de la droite $BC$ de sorte que $AX$ soit parallèle à $BE$ et $CF$ . On procède ensuite de la même façons que nous venons de le faire avec les droites sécantes. ∎