4.4 Les hauteurs

Théorème 4.4.1:

Les hauteurs sont concourantes. Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point que l’on appelle l’orthocentre.

Démonstration.

Il existe plusieurs méthodes pour démontrer ce résultat. Nous allons en présenter deux.

Méthode 1: Sans utiliser le théorème de Ceva.

1.

Prenons un triangle $\triangle ABC$ et dessinons des parallèles à chaque côté passant par le sommet opposé.
2.

Par les angles correspondant et le théorème des angles alternes-internes (Théorème 2.2.1), on obtient les congruences suivantes:

$\angle BAC\cong\angle ABF\cong\angle ECA\cong\angle CDB$

$\angle CBA\cong\angle FAB\cong\angle BCD\cong\angle AEC$

$\angle ACB\cong\angle BFA\cong\angle DBC\cong\angle CAE$
3.

On obtient donc que les triangles suivants sont congrus par ACA:

$\triangle ABC\cong\triangle BCD\cong\triangle ACE\cong\triangle ABF$
4.

Comme les triangles sont congrus, on obtient donc que les segments suivants sont congrus:

$AE\cong AF,\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ BD% \cong BF\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \textrm% { et }\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ CD\cong CE$
5.

Ceci signifie que les points $A,B$ et $C$ sont respectivement les points milieux des segments $EF,CF$ et $CE$ .
6.

Les hauteurs du triangle $\triangle ABC$ sont donc les médiatrices du triangle $\triangle DEF$ . Comme nous savons que les $3$ médiatrices d’un triangle sont concourantes (Théorème 4.2.2), il s’en suit que les trois hauteurs sont concourantes.

Remarquez que le triangle $\triangle CEF$ porte le nom de triangle antimédian du triangle $\triangle ABC$ . D’un autre côté, le triangle $\triangle ABC$ porte le nom de triangle médian du triangle $\triangle DEF$ .

Méthode 2: À l’aide du théorème de Ceva.

1.

Prenons un triangle $\triangle ABC$ et dénotons par $D,E$ et $F$ les points d’intersection des hauteurs avec les différent côté du triangle comme sur la figure ci-dessous.
2.

Par AA, les triangles ci-dessous sont semblables:

$\triangle ABD\sim\triangle BFC,\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \triangle ACF\sim\triangle ABE\textrm{\leavevmode\nobreak% \ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ et \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ }\triangle BCE\sim\triangle ACD$
3.

Comme les triangles sont semblables, leur côté correspondant sont proportionnels. Ce qui nous donne les égalités suivantes:

$\frac{BD}{BF}=\frac{AD}{CF}=\frac{AB}{BC},\leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \frac% {AF}{AE}=\frac{CF}{BE}=\frac{AC}{AB}\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \textrm{ et }% \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \frac{CD}{CE}=\frac{AD}{BE}=\frac{AC}{BC}$
4.

À partir de ces égalités, on obtient donc:

$\frac{AF}{BF}\cdot\frac{BD}{CD}\cdot\frac{CE}{AE}=\frac{AF}{AE}\cdot\frac{BD}{% BF}\cdot\frac{CE}{CD}=\frac{AC}{AB}\cdot\frac{AB}{BC}\cdot\frac{BC}{AC}=1$

Comme il y a toujours exactement $0$ ou $2$ des bases des hauteurs qui sont à l’extérieur de leur côté respectif, alors par le théorème de Ceva (Théorème 3.2.1) on peut affirmer que les trois hauteurs sont concourantes.

∎

Théorème 4.4.2:

Théorème de Pythagore inversé. Si $\triangle ABC$ est un triangle rectangle en $A$ , et $H$ est le point d’intersection de la droite $BC$ avec la hauteur issue du sommet $A$ , alors:

\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}=\frac{1}{AH^{2}}

Démonstration.

1.

On remarque premièrement que les triangles $\triangle ABC$ et $\triangle ABH$ sont semblables par AA, leur côtés doivent donc être proportionnels (Théorème 2.6.1), ce qui nous donne:

$\frac{AH}{AB}=\frac{AC}{BC}\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ AH\cdot BC=AB\cdot AC$
2.

Avec un peu d’algèbre, on obtient donc:

$\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}=\frac{AB^{2}+AC^{2}}{AB^{2}\cdot AC^{2}}=% \frac{AB^{2}+AC^{2}}{AH^{2}\cdot BC^{2}}$
3.

En applicant le théorème que Pythagore (Théorème 2.6.3) on obtient donc:

$\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}=\frac{BC^{2}}{AH^{2}\cdot BC^{2}}=\frac{1}{% AH^{2}}$

∎

Théorème 4.4.3:

Hauteur et bissectrice. Supposons que $\triangle ABC$ est un triangle pour lequel tous les angles sont aigu, et $D,E$ et $F$ sont les points d’intersection des hauteurs du triangle avec les côtés du triangle tel qu’illustré sur la figure. Alors les droites $AD,BE$ et $CF$ sont les bissectrices du triangle $\triangle DEF$ . Ce triangle porte le nom du triangle orthique du triangle $\triangle ABC$ . triangle orthique

Démonstration.

Exercice. Notez qu’il s’agit d’une application du théorème de Blanchet. ∎