4.2 Les médiatrices

Supposons premièrement que $P$ est un point sur la médiatrice du segment $AB$. Par definition, $AQ\cong BQ$ et $\angle BQP=90^{o}$. Comme le côté $PQ$ est commun aux triangles $\triangle APQ$ et $\triangle BPQ$, alors par CAC on peut affirmer que les deux triangles sont congrus. On a donc $AP\cong BP$, c’est à dire que $P$ est à la même distance de $A$ et $B$.

Supposons maintenant que $P$ est un point à égal distance de $A$ et $B$. Posons $Q$ le point d’intersection entre la droite $AB$ et la droite perpendiculaire à $AB$ passant par $P$. Par ACC avec angle droit (Théorème 2.3.3), on a donc que les triangles $\triangle APQ$ et $\triangle BPQ$ sont congrus, ce qui mous permet d’affirmer que $AQ\cong BQ$. La droite $PQ$ est donc la médiatrice du segment $AB$.

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Posons $O$ le point d’intersection des médiatrices des segments $AB$ et $BC$. Par le théorème 4.2.1, comme $O$ est sur la médiatrice de $AB$, il est à égal distance des points $A$ et $B$. De plus, en utilisant le même théorème, comme $O$ est sur la médiatrice de $BC$, il est à égal distance des points $B$ et $C$. Par transitivité, le point $O$ est donc à égal distance de $A$ et $C$. En utilisant à nouveau le théorème 4.2.1, $O$ est donc sur la médiatrice de $AC$. Le point $O$ est donc sur les trois médiatrices, et donc les trois médiatrices sont concourantes.

De plus, remarquons que comme le point $O$ est à égal distance des trois sommets, les trois sommets sont sur un même cercle centré en $O$ que l’on appelle le cercle circonscrit du triangle. ∎