2.2 La congruence des angles

Techniquement, les axiomes d’Euclide sont supposés être suffisants pour démontrer tous les résultats de géométrie euclidienne. Il faut cependant noter qu’Euclide a en fait commis quelques petites erreurs en faisant quelques hypothèses qui ne sont pas clairement énoncées comme axiomes. Ces erreurs n’ont cependant pas été remarquées avant le XIXe siècle et furent corrigées par Hilbert qui a énoncé un nouvel ensemble d’axiomes plus modernes. Nous aurons l’occasion d’en discuter beaucoup plus tard dans le cours. Pour le moment, nous allons nous permettre de commettre les mêmes petites erreurs, et vous êtes encouragés à les identifier au passage.

Pour se simplifier la vie, nous allons cependant immédiatement introduire quelques axiomes supplémentaires concernant la congruence des angles et des triangles. Ces axiomes sont en fait des théorèmes qu’Euclide démontre dans les éléments, mais les méthodes de démonstration qu’il utilise pour les démontrer ne sont pas particulièrement intéressantes pour nous, et pour se simplifier la vie, nous allons les prendre pour acquis.

Congruence des angles

Deux angles sont dits congruents s’ils ont la même mesure, c’est-à-dire si le premier peut être déplacé de sorte qu’il se superpose parfaitement sur le second. Nous allons supposer vrais les deux critères suivants établissant la congruence de deux angles. Notez que ces critères peuvent être démontrés à partir des axiomes d’Euclide, mais nous ne le ferons pas.

Deux angles opposés par le sommet sont congruent. Sur notre schéma, ceci signifie que les angles $\angle AOC$ et $\angle BOD$ sont congrus, ainsi que les angles $\angle DOA$ et $\angle COB$ .
Si on a deux droites parallèles et une troisième droite sécante aux deux premières, alors les angles correspondant sont congruent. Sur notre figure, ceci signifie que si $AB$ est parallèle à $CD$ , alors les angles $\angle DHE$ et $\angle BGH$ sont congrus.

À partir de ces deux axiomes supplémentaires, il est maintenant facile de démontrer les critères additionnels de congruence que nous allons énoncer immédiatement sous forme d’un théorème.

Théorème 2.2.1:

Congruence des angles (Partie 1). Les deux critères de congruence des angles ci-dessous sont valides.

Si on a une droite sécante à deux droites parallèles, alors les angles alterne-interne sont congruent. Sur notre figure, ceci signifie que les angles $\angle CHG$ et $\angle BGH$ sont congruent.
Si on a une droite sécante à deux droites parallèles, alors les angles alterne-externe sont congruent. Sur notre figure, ceci signifie que les angles $\angle DHE$ et $\angle AGF$ sont congruent.

Démonstration.

Exercice. ∎

Théorème 2.2.2:

Somme des angles d’un triangle. La somme des angles internes d’un triangle est toujours 180^o.

Démonstration.

Prenons un triangle $\triangle ABC$ et dessinons une parallèle à $BC$ passant par le sommet $A$ .

Par le théorème des angles alternes-internes, on sait que $\angle CBA\cong\angle BAX$ et $\angle ACB\cong\angle CAY$ . On obtient donc:

	$\displaystyle\angle CBA+\angle BAC+\angle ACB$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\angle XAB+\angle BAC+\angle CAY$
		$\displaystyle=$	$\displaystyle 180^{o}$

où la dernière égalité vient du fait que les trois angles forment un angle plat (une droite). La somme des angles internes d’un triangle doit donc toujours être $180^{o}$ . ∎

Théorème 2.2.3:

Congruence des angles (Partie 2). Supposons que $AB$ et $CD$ sont deux droites qui sont sécantes à une troisième droite $EF$ , et dénotons les points d’intersection respectivement par $G$ et $H$ . Alors nous avons les propriétés suivantes:

1.

Si des angles correspondants sont congruent, alors les droites $AB$ et $CD$ sont parallèles.
2.

Si des angles alternes internes sont congruent, alors les droites $AB$ et $CD$ sont parallèles.
3.

Si des angles alternes externes sont congruent, alors les droites $AB$ et $CD$ sont parallèles.

Démonstration.

Exercice. ∎