4.3 Les bissectrices

Théorème 4.3.1:

Théorème de la bissectrice (intérieure). Si $\triangle ABC$ est un triangle et $D$ un point du segment $BC$ de sorte que $AD$ soit la bissectrice de l’angle $\angle BAC$ , alors:

\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}

Démonstration.

1.

On commence par dessiner une parallèle à $AD$ passant par le sommet $B$ , et on dénote le point d’intersection de cette droite avec $AC$ par $E$ .
2.

Comme les droites $AD$ et $BE$ sont parallèle, par angle correspondant les angles $\angle DAC$ et $\angle BEA$ sont congru.
3.

De plus, par les angles alternes-internes, les angles $\angle BAD$ et $\angle ABE$ sont aussi congrus.
4.

Comme les angles $\angle BEA$ et $\angle ABE$ sont congrus, par le théorème des triangles isocèles (Théorème 2.3.1) on a $AE\cong AB$ .
5.

Par AA les triangles $\triangle ADC$ et $\triangle EBC$ sont semblables. Leur côtés sont donc proportionnel. On a donc:

$\frac{CB}{CD}=\frac{CE}{CA}$
6.

Un peu d’algèbre nous permet maintenant d’obtenir:

$\frac{CD+BD}{CD}=\frac{CA+AE}{CA}\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \frac{BD}{CD}=\frac{AE}{CA}\leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \frac{BD}{CD}=\frac{AB}{CA}% \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \Rightarrow% \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \frac{BD}{AB}=% \frac{CD}{CA}$

∎

Théorème 4.3.2:

Théorème de la bissectrice extérieure. Si $\triangle ABC$ est un triangle et $D$ est le point d’intersection entre la bissectrice extérieure issue du sommet $A$ et la droite $BC$ . Alors:

\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}

Démonstration.

Exercice. ∎

Théorème 4.3.3:

Lieu des points de la bissectrice. La bissectrice d’un angle $\angle ABC$ est le lieu des points qui sont à égal distance des droites $AB$ et $BC$ .

Démonstration.

Supposons premièrement que $P$ est un point sur la bissectrice de l’angle $\angle CBA$ . Par définition de la bissectrice, on a donc $\angle CBP\cong\angle PBA$ . Dénotons par $Q$ et $R$ les points de $AB$ et $BC$ respectivement qui sont les plus proches du point $P$ . Par le théorème 2.6.4, les angles $\angle BQP$ et $\angle PRB$ sont droit. Finalement, comme le côté $BP$ est commun aux triangles $\triangle BPQ$ et $\triangle BPR$ , alors par AAC (théorème 2.3.3) les deux triangles sont congrus. On peut donc affirmer que $PQ\cong PR$ , c’est à dire que $P$ est à la même distance de la droite $AB$ que de la droite $BC$ .

Supposons que $P$ est à la même distance de la droite $AB$ et $BC$ . Dénotons par $Q$ et $R$ les points de $AB$ et $BC$ les plus proche de $P$ . On a donc $PQ\cong PR$ . De plus, par le théorème 2.6.4, on sait que $\angle BQP$ et $\angle PRB$ sont droit. Par ACA, les triangles $\triangle BPQ$ et $\triangle BPR$ sont congrus. On a donc $\angle PBQ\cong\angle RBP$ , c’est à dire que $P$ est sur la bissectrice de l’angle $\angle CBA$ .

∎

Théorème 4.3.4:

Les bissectrices sont concourantes. Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes en un point que l’on appelle le centre du cercle inscrit.

Démonstration.

Exercice. ∎