2.6 La similitude des triangles

Deux figures sont dites semblables si elles sont toutes les deux en apparence identiques, sauf pour leur grosseur, position et orientation. Plus formellement, nous définissons:

Définition 2.6.1.

Deux polygones sont dits semblables si les angles correspondants sont congrus, et leurs côtés proportionnels.

En général, les deux conditions sont essentielles, mais dans le cas des triangles, comme nous allons le voir dans le prochain théorème, les deux conditions sont en fait équivalentes. Ceci en fait un outil de démonstration particulièrement important.

Théorème 2.6.1:

Théorème des triangles semblables. Pour des triangles $\triangle ABC$ et $\triangle DEF$ , les énoncés suivants sont équivalents:

1.

Les angles correspondant sont congrus. C’est à dire que $\angle CAB\cong\angle FDE$ , $\angle ABC\cong\angle DEF$ et $\angle BCA\cong\angle EFD$ . On dénote habituellement ce critère par $AAA$ .
2.

Deux paires de côtés correspondant sont proportionnels, et les angles entre les deux sont congrus. C’est à dire que $\angle CAB\cong\angle FDE$ et $\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$ . On dénote habituellement ce critère par $cAc$ .
3.

Les côtés correspondant sont proportionnels. C’est à dire que $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$ . On dénote habituellement ce critère par $ccc$ .

De plus, si les deux triangles satisfont l’une ou l’autre de ces propriétés, alors ils sont semblables.

Démonstration.

(1) $\Rightarrow$ (2):

1.

Prenons des triangles $\triangle ABC$ et $\triangle DEF$ pour lesquels les angles correspondant sont congrus. C’est à dire tel que $\angle BAC\cong\angle EDF$ , $\angle ABC\cong\angle DEF$ et $\angle ACB\cong\angle DFE$ .
2.

On pose $X$ le point sur le segment $AB$ tel que $AX\cong DE$ .
3.

On pose $Y$ le point sur le segment $AC$ tel que $\angle YXA\cong\angle FED$ .
4.

Par ACA les triangles $\triangle AXY$ et $\triangle DEF$ sont congrus. En particulier, $AY\cong DF$ .
5.

Par le théorème 2.5.2, on peut donc affirmer que:

$\frac{[AXY]}{[BXY]}=\frac{AX}{BX}\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \textrm{ et }\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \frac{[AXY]}{[CXY]}=\frac{AY}{CY}$
6.

Comme les angles correspondant $\angle YXA$ et $\angle FED$ sont congrus, on a donc que les droites $BC$ et $XY$ sont parallèles. On doit donc avoir $[BXY]=[CXY]$ , car ces deux triangles on la même base et la même hauteur.
7.

En combinant les équations des deux dernières étapes, nous obtenons donc:

$\frac{AX}{BX}=\frac{AY}{CY}\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \frac{AX}{AB-AX}=\frac{AY}{AC-AY}\leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \frac{AB}{AX}=\frac{AC}{AY}% \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \Rightarrow% \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \frac{AB}{DE}=% \frac{AC}{DF}$

C’est-à-dire que les deux triangles satisfont la propriété cAc.

(2) $\Rightarrow$ (1):

1.

Prenons des triangles $\triangle ABC$ et $\triangle DEF$ . Supposons que $\angle BAC\cong\angle EDF$ et $\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}$ .
2.

Prenons $X$ un point du segment $AB$ tel ue $AX\cong DE$ .
3.

Prenons $Y$ un point du segment $AC$ tel que les droites $XY$ et $BC$ sont parallèles. En utilisant le théorème des angles correspondant, on peut donc affirmer que les triangles $\triangle ABC$ et $\triangle AXY$ satisfont le critère AAA et donc par la première partie de la démonstration nous avons:

$\frac{AX}{AB}=\frac{AY}{AC}$
4.

Prenons $Z$ un point du segment $AC$ tel que $DF\cong AZ$ . Par CAC les triangles $\triangle AXZ$ et $\triangle DEF$ sont congrus. De plus, nous avons:

$\frac{AX}{AB}=\frac{AZ}{AC}$
5.

En combinant les équations des étapes (3) et (4), on obtient donc que $AY=AZ$ . Finalement, comme $Y$ et $Z$ sont tout deux supposé sur le segment $AC$ , on doit donc avoir $Y=Z$ . Tout les angles correspondant doivent donc être congrus.

(1) $\Rightarrow$ (3): Supposons que $\triangle ABC$ et $\triangle DEF$ satisfont le critère AAA. En utilisant la première partie de la démonstration, nous avons donc:

\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}

Mais en appliquant cette même démonstration à deux autres côtés, on a aussi:

\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}

On obtient finalement le résultat en combinant ces deux équations.

(3) $\Rightarrow$ (1):

1.

Prenons des triangles $\triangle ABC$ et $\triangle DEF$ et supposons que les côtés correspondant sont proportionnels. C’est à dire on suppose que:

$\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}=\frac{EF}{BC}$
2.

Prenons $X$ un point sur le segment $AB$ tel que $AX=DE$ .
3.

Prenons $Y$ un point sur le segment $AC$ tel que les droites $XY$ est parallèle à $BC$ .
4.

Par le théorème des angles correspondant, les triangles $\triangle AXY$ et $ABC$ satisfont le critère AAA, et donc par la première partie de la démonstration nous avons:

$\frac{AX}{AB}=\frac{AY}{AC}$

De plus, comme $AX=DE$ , par l’étape 1. on peut affirmer que:

$\frac{DF}{AC}=\frac{DE}{AB}=\frac{AX}{AB}=\frac{AY}{AC}\leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ DF=AY$
5.

De plus, on sait que:

$\frac{EF}{BC}=\frac{DE}{AB}=\frac{AX}{AB}=\frac{XY}{BC}\leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ EF=XY$
6.

Par CCC, les triangles $\triangle AXY$ et $\triangle DEF$ sont congrus. Leurs angles correspondant sont donc congrus, ce qui nous permet d’affirmer que AAA est satisfait.

∎

Théorème 2.6.2:

Théorème de Thalès pour les triangles. Si $\triangle ABC$ est un triangle et $D$ et $E$ des points sur les segments $AB$ et $AC$ respectivement, alors les énoncés suivants sont équivalents:

1.

$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$ .
2.

$DE$ est parallèle à $BC$ .

De plus, si l’une ou l’autre de ces conditions est satisfaite, alors $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$ .

Démonstration.

Exercice. ∎

Théorème 2.6.3:

Théorème de Pythagore. Si $\triangle ABC$ est un triangle rectangle en $A$ , alors: $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$ .

Démonstration.

Prenons un triangle $\triangle ABC$ rectangle en $A$ et dessinons la hauteur issue de $A$ . On dénote le point d’intersection de cette hauteur avec la droite $BC$ par $D$ .

Par AAA, les triangles $\triangle ABC$ , $\triangle BDA$ et $\triangle CDA$ sont tous semblables. On a donc:

\frac{BD}{AB}=\frac{AB}{BC}\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ AB^{2}=BC\cdot BD

\frac{CD}{AC}=\frac{AC}{BC}\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ AC^{2}=BC\cdot CD

En combinant ces deux équations, on obtient donc:

AB^{2}+AC^{2}=BC\cdot BD+BC\cdot CD=BC(BD+CD)=BC^{2}

∎

Théorème 2.6.4:

Théorème de la plus courte distance. Si $P$ est un point à l’extérieur d’une droite $AB$ , alors le point $Q$ de la droite $AB$ qui est le plus proche de $P$ est le point tel que $PQ$ est perpendiculaire à $AB$ .

Démonstration.

Prenons $P$ un point à l’extérieur d’une droite $AB$ , $Q$ un point tel que $PQ$ est perpendiculaire à $AB$ et $R$ un autre point de la droite.

Comme le triangle $\triangle PQR$ est rectangle, on peut donc appliquer le théorème de Pythagore (Théorème 2.6.3), ce qui nous donne:

PR^{2}=PQ^{2}+RQ^{2}>PQ^{2}

Comme la longueur d’un segment est toujours une valeur positive, ceci implique immédiatement que $PR>PQ$ . $Q$ est donc le point de la droite le plus proche de $P$ . ∎