4.5 La droite d’Euler

Théorème 4.5.1:

La droite d’Euler. Dans tous triangles, l’orthocentre, le centre du cercle circonscrit et le centre de gravité sont aligné sur une même droite. Lorsque le triangle n’est pas équilatéral, cette droite est bien définie et porte le nom de droite d’Euler.

Démonstration.

Prenons un triangle $ABC$ , et supposons que $D$ et $E$ sont les points milieux des segment $AB$ et $BC$ respectivement. Supposons aussi que $O$ est l’orthocentre du triangle (i.e. l’intersection des hauteurs) et $M$ est le centre du cercle circonscrit (l’intersection des médiatrices). Ceci signifie que les segments $OC$ et $OA$ se trouve sur des hauteurs du triangle, et que les segment $EM$ et $DM$ se trouve sur des médiatrices du triangle. On veut montrer que le point $G$ qui se trouve à l’intersection du segment $OM$ et de la médiane $CD$ est en fait le centre de gravité du triangle, ce qui complètera la démonstration.
Remarquons premièrement que les segments $AC$ et $DE$ sont parallèles, ainsi que les segments $CO$ et $DM$ , et les segment $AO$ et $ME$ . Ceci nous permet donc d’affirmer que les triangle $\triangle AOC$ et $\triangle DEM$ sont semblable par AA. De plus, nous avons déjà démontré que le segment $DE$ est la moitié de la longueur de segment $AC$ , ce qui signifie que les deux triangles sont proportionnel dans un rapport 2:1.
Maintenant, remarquons que les côtés des triangles $COG$ et $DGM$ sont aussi parallèle, donc les triangles sont aussi semblable par AA. De plus, comme le segment $DM$ est la moitié de la longueur du segment $OC$ , alors on peut affirmer que le rapport de proportionnalité est aussi 2:1. En particulier, ceci signifie que le segment $GD$ est la moitié de la longueur du segment $GC$ .
Finalement, comme le segment $CD$ représente l’une des médianes du triangle, et que le point $G$ le découpe dans un rapport 2:1, nous savons par le théorème sur l’intersection des médianes qu’il s’agit en fait du point d’intersection des médianes, i.e. le centre de gravité. On peut donc affirmer que l’orthocentre, le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit sont tous aligné sur la même droite. De plus, nous pouvons affirmer qu’ils sont aligné dans un rapport 2:1.

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