4.1 Les médianes

On se rappelle que qu’une médiane est une droite reliant un sommet d’un triangle au côté opposé. Nous allons maintenant étudier certaine propriétés de ces droites remarquables.

Théorème 4.1.1:

Les médianes sont concourantes. Dans tous triangles $\triangle ABC$ , les trois médianes sont concourantes.

Démonstration.

Nous allons utiliser le théorème de Ceva. Comme $D,E$ et $F$ sont les points milieux des segments $BC$ , $AC$ et $AB$ respectivement, alors nous avons: $BD=CD$ , $AE=CE$ et $AF=BF$ . On obtient donc:

\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=1

De plus, comme chacun des points $D,E$ et $F$ sont à l’intérieur du côté du triangle, chacun des rapports orientés est positif. On a donc:

\frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}\cdot\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}% \cdot\frac{\overline{CE}}{\overline{EA}}=1

Par le théorème de Ceva, les trois médianes doivent donc être concourantes. ∎

Définition 4.1.1.

On appelle centre de gravité le point d’intersection des trois médianes d’un triangle.

Théorème 4.1.2:

Le centre de gravité. Le centre de gravité d’un triangle divise les médianes dans un rapport 2:1. Plus précisément, dans tous les triangles, la distance entre le centre de gravité et le sommet est toujours deux fois plus grande que la distance entre le centre de gravité et le côté.

Démonstration.

Dessinons les médianes issue des sommets $B$ et $C$ et dénotons leur point d’intersection avec les droites $AC$ et $AB$ par $E$ et $F$ respectivement. On dénote aussi le point d’intersection de ces deux médianes (i.e. le centre de gravité) par $G$ .

Comme les points $E$ et $F$ sont les points milieux de $AB$ et $AC$ , par le théorème de Thales pour les triangles (théorème 2.6.2), la droite $EF$ est parallèle à $BC$ et de la moitié de sa longueur. Par les angles alternes-internes, on a $\angle ECF\cong\angle CFE$ et $\angle CBE\cong\angle FEB$ . Par AA, les triangles $\triangle GBC$ et $\triangle GEF$ sont semblables. Les côtés sont donc proportionnels. On a donc:

\frac{CG}{FG}=\frac{BC}{EF}=2

∎

Théorème 4.1.3:

Médiane et aire. Dans tout triangle, une médiane divise le triangle en deux triangles ayant la même aire. De plus, les trois médianes d’un triangle divisent le triangle en $6$ triangles de même aire.

Démonstration.

Exercice. ∎

Théorème 4.1.4:

Théorème d’Apollonius. Si $\triangle ABC$ est un triangle et $M$ le point milieu du côté $BC$ , alors:

AB^{2}+AC^{2}=2AM^{2}+2BM^{2}

Démonstration.

Exercice. ∎