2.3 La congruence des triangles

Un triangle est une figure obtenue en reliant 33 points non alignés à l’aide de segments. On dit que deux triangles sont congruents s’ils sont en tout point identiques sauf possiblement pour leur position et orientation. C’est-à-dire qu’ils sont congruents s’il est possible de prendre le premier et le superposer sur le second. Comme pour les angles, il existe plusieurs critères permettant d’établir la congruence des triangles. Bien qu’une démonstration ait été fournie par Euclide dans les Éléments, nous allons plutôt prendre les trois critères ci-dessous comme axiomes supplémentaires sans en fournir une démonstration.

Si tous les côtés d’un triangle sont congrus à des côtés correspondant pour un second triangle, alors les deux triangles sont congrus. Ce critère de congruence est appelé côté-côté-côté et est habituellement dénoté tout simplement par CCC.
Si deux côtés d’un triangles sont congrus à des côtés correspondant pour un second triangle, et si l’angle entre les deux côtés du premier triangle est congrue à l’angle entre les deux côtés du second triangle, alors les deux triangles sont congrus. Ce critère pour le nom de côté-angle-côté et est habituellement dénoté par CAC.
Si deux angles d’un triangles sont congrus à deux angles correspondant pour un second triangle, et si le côté entre les deux angles pour le premier triangle est congrue au côté entre les deux angles pour le second triangle, alors les deux triangles sont congrus. Ce critère porte le nombre de angle-côté-angle , et est habituellement dénoté par ACA.
Théorème 2.3.1:

Théorème des triangles isocèles. Un triangle △⁢A⁢B⁢C\triangle ABC est isocèle si et seulement s’il est isoangle. Plus précisément, si △⁢A⁢B⁢C\triangle ABC est un triangle, alors A⁢B≅A⁢CAB\cong AC si et seulement si ∠⁢C⁢B⁢A≅∠⁢A⁢C⁢B\angle CBA\cong\angle ACB

Démonstration.

(⇒)(\Rightarrow) Prenons un triangle △⁢A⁢B⁢C\triangle ABC et supposons que A⁢B≅A⁢CAB\cong AC. On dessine la bissectrice de l’angle ∠⁢B⁢A⁢C\angle BAC. Dénotons le point d’intersection de cette bissectrice avec le côté B⁢CBC par DD.

Par CAC, on a donc que les triangles △⁢A⁢B⁢D\triangle ABD et △⁢A⁢C⁢D\triangle ACD sont congrus, ce qui signifie que ∠⁢C⁢B⁢A≅∠⁢A⁢C⁢B\angle CBA\cong\angle ACB. Le triangle est donc isoangle.
 
(⇐)(\Leftarrow) Prenons un triangle △⁢A⁢B⁢C\triangle ABC et supposons que ∠⁢C⁢B⁢A≅∠⁢A⁢C⁢B\angle CBA\cong\angle ACB. On dessine la bissectrice de l’angle ∠⁢B⁢A⁢C\angle BAC et on dénote son point d’intersection avec la droite B⁢CBC par DD. Par le théorème de la somme des angles d’un triangle, on a donc:

∠⁢A⁢D⁢B=180−∠⁢B⁢A⁢D−∠⁢D⁢B⁢A=180−∠⁢D⁢A⁢C−∠⁢A⁢C⁢D=∠⁢C⁢D⁢A\angle ADB=180-\angle BAD-\angle DBA=180-\angle DAC-\angle ACD=\angle CDA

Par ACA, les triangles △⁢A⁢B⁢D\triangle ABD et △⁢A⁢C⁢D\triangle ACD sont congrus, ce qui signifie que A⁢B≅A⁢CAB\cong AC. Le triangle est donc isocèle.

∎

Théorème 2.3.2:

Théorème des triangles équilatéraux. Un triangle △⁢A⁢B⁢C\triangle ABC est équilatéral si et seulement s’il est équiangle. C’est-à-dire si tous ses angles sont congruents. De plus, dans tout triangle équilatéral, chacun des angles mesure 60∘60^{\circ}.

Démonstration.

Exercice. ∎

Théorème 2.3.3:

Critères de congruence AAC et ACC avec angle droit. Les deux critères de congruence ci-dessous pour les triangles sont valides:

Si △⁢A⁢B⁢C\triangle ABC et △⁢D⁢E⁢F\triangle DEF sont des triangles tels que ∠⁢C⁢A⁢B≅∠⁢F⁢D⁢E\angle CAB\cong\angle FDE, ∠⁢A⁢B⁢C≅∠⁢D⁢E⁢F\angle ABC\cong\angle DEF et B⁢C≅E⁢FBC\cong EF, alors les deux triangles sont congrus. Ce critère est appelé angle-angle-côté et est habituellement dénoté par AAC.
Si △⁢A⁢B⁢C\triangle ABC et △⁢D⁢E⁢F\triangle DEF sont des triangles tels que ∠⁢A⁢B⁢C=∠⁢D⁢E⁢F=90o\angle ABC=\angle DEF=90^{o}, B⁢C≅E⁢FBC\cong EF et A⁢C≅D⁢FAC\cong DF, alors les deux triangles sont congrus. Ce critère est appelé angle droit-côté-côté. Nous allons le dénoter dans ce texte par ACC avec angle droit.
Démonstration.

Exercice. ∎

Construction 2.3.1:

Construction de la médiatrice.

Supposons que A⁢BAB est un segment, alors on peut construire la médiatrice de A⁢BAB à l’aide uniquement d’une règle non gradué et d’un compas en suivant les étapes suivantes: 1.​Dessiner un cercle centré en AA et de rayon A⁢BAB. 2.​Dessiner un cercle centré en BB et de rayon A⁢BAB. 3.​Dénoter les points d’intersection des cercles des deux étapes précédentes par CC et DD. 4.​Dessiner la droite C⁢DCD. Cette droite est la médiatrice du segment A⁢BAB.

Démonstration.
  1. 1.
    ​

    Remarquons premièrement que par construction, les segments suivants sont congruent:

    A⁢C≅A⁢D≅B⁢C≅B⁢DAC\cong AD\cong BC\cong BD
  2. 2.
    ​

    Comme les triangles △⁢A⁢B⁢C\triangle ABC, △⁢A⁢B⁢D\triangle ABD, △⁢A⁢C⁢D\triangle ACD et △⁢B⁢C⁢D\triangle BCD sont tous isocèles, par le théorème des triangles isocèles (Théorème 2.3.1) on a donc les congruences suivantes:

    ∠⁢B⁢A⁢C≅C⁢B⁢A,∠⁢D⁢A⁢B≅A⁢B⁢C,∠⁢A⁢C⁢D≅∠⁢C⁢D⁢A et ∠⁢D⁢C⁢B≅∠⁢B⁢D⁢C\angle BAC\cong CBA,\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \angle DAB\cong ABC,\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \angle ACD\cong\angle CDA\leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \textrm{ et }\leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \angle DCB\cong\angle BDC
  3. 3.
    ​

    Par CCC, les triangles △⁢A⁢B⁢C\triangle ABC et △⁢A⁢B⁢D\triangle ABD sont congruent et de même pour △⁢A⁢C⁢D\triangle ACD et △⁢B⁢C⁢D\triangle BCD. On a donc:

    ∠⁢B⁢A⁢C≅D⁢A⁢B,∠⁢C⁢B⁢A≅∠⁢A⁢B⁢D,∠⁢A⁢C⁢D≅∠⁢D⁢C⁢B et ∠⁢C⁢D⁢A≅∠⁢B⁢D⁢C\angle BAC\cong DAB,\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \angle CBA\cong\angle ABD,\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \angle ACD\cong\angle DCB\leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \textrm{ et }\leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \angle CDA\cong\angle BDC
  4. 4.
    ​

    Si on dénote le point d’intersection de A⁢BAB et C⁢DCD par CAC, on a que les triangles △⁢A⁢O⁢C\triangle AOC et △⁢B⁢O⁢C\triangle BOC sont congruent. On a donc que A⁢O≅B⁢OAO\cong BO et ∠⁢C⁢O⁢A≅∠⁢B⁢O⁢C\angle COA\cong\angle BOC.

  5. 5.
    ​

    Comme les angles ∠⁢C⁢O⁢A\angle COA et ∠⁢B⁢O⁢C\angle BOC forment ensemble un angle plat, on doit donc avoir ∠⁢A⁢O⁢C=90∘\angle AOC=90^{\circ}.

  6. 6.
    ​

    Finalement, comme la droite C⁢DCD passe par le point milieu du segment A⁢BAB et le traverse à angle droit, il s’agit donc de la médiatrice du segment A⁢BAB.

∎

Plusieurs remarques s’imposent concernant la construction que l’on vient de voir. Premièrement, il n’est pas très difficile de voir que dans les étapes 11 et 22, il n’est pas nécessaire que les cercles soient de rayon A⁢BAB. En fait, n’importe quel rayon fonctionne, tant que les deux cercles sont de même rayon et se croisent en deux points. De choisir ces rayons comme étant de longueur A⁢BAB comporte cependant certains avantages. Le plus évident étant de garantir l’existence des points d’intersection CC et DD, mais cela nous permet aussi, à partir de la même construction, de dessiner un triangle équilatéral et des angles de 30∘⁢,60∘30^{\circ},60^{\circ} et 90∘90^{\circ}.

Construction 2.3.2:

Construction de la bissectrice.

Supposons que ∠⁢A⁢B⁢C\angle ABC est un angle, alors on peut construire la bissectrice de ∠⁢A⁢B⁢C\angle ABC à l’aide uniquement d’une règle non graduée et d’un compas en suivant les étapes suivantes: 1.​Dessiner un cercle centré en BB de rayon quelconque. On dénote les points d’intersection avec A⁢BAB et B⁢CBC par DD et EE respectivement. 2.​Dessiner un cercle centré en DD et un autre centré en EE. Les deux peuvent avoir un rayon quelconque, mais doivent être identique et permettre d’avoir un point d’intersection que l’on appelle FF 3.​Dessiner la droite B⁢FBF. Cette droite est la bissectrice de l’angle ∠⁢A⁢B⁢C\angle ABC.

Démonstration.

Exercice. ∎

Construction 2.3.3:

Construction d’une perpendiculaire passant par un point.

Supposons que A⁢BAB est une droite et PP un point à l’extérieur de la droite, alors on peut construire à l’aide uniquement d’une règle non graduée et d’un compas une droite perpendiculaire à A⁢BAB passant par le point PP en suivant les étapes suivantes: 1.​Dessiner un arc de cercle centré en AA et de rayon A⁢PAP. 2.​Dessiner un arc de cercle centré en BB et de rayon B⁢PBP. 3.​Dénoter le point d’intersection (autre que PP) des cercles des deux étapes précédentes par QQ. 4.​Dessiner la droite P⁢QPQ. Cette droite est la droite perpendiculaire à A⁢BAB passant par le point PP.

Démonstration.

Exercice. ∎

Construction 2.3.4:

Construction d’une parallèle passant par un point.

Supposons que A⁢BAB est une droite et PP un point à l’extérieur de la droite, alors on peut construire à l’aide uniquement d’une règle non graduée et d’un compas une droite parallèle à A⁢BAB passant par le point PP en suivant les étapes suivantes: 1.​Dessiner un arc de cercle centré en BB et de rayon A⁢PAP. 2.​Dessiner un arc de cercle centré en PP et de rayon A⁢BAB. 3.​Dénoter le point d’intersection (autre que PP) des cercles des deux étapes précédentes par QQ. 4.​Dessiner la droite P⁢QPQ. Cette droite est la droite parallèle à A⁢BAB passant par le point PP.

Démonstration.
  1. 1.
    ​

    Par construction, on a que A⁢P≅B⁢QAP\cong BQ et A⁢B≅P⁢QAB\cong PQ.

  2. 2.
    ​

    Par CCC les triangles △⁢A⁢P⁢Q\triangle APQ et △⁢A⁢Q⁢B\triangle AQB sont congruent. On a donc que ∠⁢B⁢A⁢Q≅∠⁢P⁢Q⁢A\angle BAQ\cong\angle PQA.

  3. 3.
    ​

    Comme les angles alternes internes sont congruent, par le théorème de la congruence des angles (partie 2) (Théorème 2.2.3), on a donc A⁢BAB parallèle à P⁢QPQ.

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