2.8 Trigonométrie plane

L’origine de la trigonométrie remonte à la fin de l’âge d’or des mathématiques grecques. On attribue souvent sa création à Ménélaus et Ptolémée qui ont défini et étudié la première fonction trigonométrique: la corde.

Définition 2.8.1.

On définit la corde d’un angle $\theta$ , que l’on dénote $\textrm{crd}(\theta)$ , comme étant la longueur du troisième côté d’un triangle isocèle pour lequel les deux côtés congrus mesurent $1$ unité, et l’angle entre ces deux côtés mesure $\theta$ degré.

En réalité, la corde telle que définie par Ptolémé utilisait des côtés de longueurs $60$ unités, hérités du système sexagésimal encore commun à l’époque. Utiliser des côtés de longueur $1$ unité fait cependant plus de sens d’un point de vue moderne. Ce sont par la suite les mathématiciens indiens qui introduiront la fonction sinus telle que nous la connaissons aujourd’hui. Il n’est pas très difficile de voir comment les fonctions corde et sinus sont reliées. En effet, nous avons la relation:

\textrm{crd}(\theta)=2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)

Les mathématiciens arabes continueront par la suite le développement de la trigonométrie pour finalement en arriver sous la forme que nous connaissons aujourd’hui avec les $6$ fonctions trigonométriques définies à partir des rapports de côtés dans un triangle rectangle.

Définition 2.8.2.

Si $\triangle ABC$ est un triangle rectangle en $C$ , et si on dénote l’angle $\angle BAC$ par $\theta$ comme ci-dessous, alors on définit les fonctions trigonométriques suivantes:

$\sin(\theta)=\frac{BC}{AB}$	$\cos(\theta)=\frac{AC}{AB}$	$\tan(\theta)=\frac{BC}{AC}$
$\csc(\theta)=\frac{AB}{BC}$	$\sec(\theta)=\frac{AB}{AC}$	$\cot(\theta)=\frac{AC}{BC}$

Il y a deux remarques importantes à faire sur la définition précédente. Premièrement, notre définition ne s’applique qu’à un angle $\theta$ tel que $0<\theta<90$ . En effet, comme la somme des angles d’un triangle est toujours $180$ degrés, et qu’un triangle rectangle contient déjà un angle de $90$ degré, il ne reste que $90$ degré pour la somme des deux autres angles. Le cas des angles de $0$ et $90$ degré peut cependant être facilement interpolé en imaginant un triangle pour lequel l’un des côtés mesure $0$ unité. La valeur des fonctions trigonométriques pour des angles entre $90$ et $180$ degrés sera traitée un peu plus loin. À noter que ce problème ne se pose pas avec la fonction corde qui est bien définie sans difficulté pour tous les angles $0\leq\theta<360$ . L’autre point important à noter concernant notre définition est le fait que la valeur des différentes fonctions trigonométriques est bien définie, ce qui n’est pas évident considérant qu’il n’y a pas un triangle rectangle unique ayant un angle de $\theta$ degré. Ceci est précisé dans le théorème suivant.

Théorème 2.8.1:

Les fonctions trigonométriques sont bien définies. Si $\theta$ est un angle entre $0$ et $90$ degrés, alors les différentes fonctions trigonométriques sont bien définies.

Démonstration.

Il s’agit de remarquer que si deux triangles rectangles ont un angle de $\theta$ degré, alors ils doivent nécessairement être semblables par AA. On peut donc affirmer que leurs côtés sont proportionnels, et donc les rapports trigonométriques seront égaux. ∎

À partir de la définition, il nous est maintenant facile de déterminer quelques valeurs remarquables des fonctions trigonométriques.

Théorème 2.8.2:

Valeurs remarquables des fonctions trigonométriques. Nous avons les valeurs suivantes du sinus et du cosinus:

$\sin\left(30^{o}\right)=\frac{1}{2}$	$\sin\left(45^{o}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\sin\left(60^{o}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos\left(30^{o}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\cos\left(45^{o}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\cos\left(60^{o}\right)=\frac{1}{2}$

Démonstration.

Exercice. ∎

La définition des rapports trigonométriques nous permet d’étudier et résoudre tous les triangles rectangles. Nous allons maintenant élargir notre étude de la trigonométrie à des triangles quelconques, ce qui peut être accompli à l’aide des lois des sinus et celle des cosinus.

Théorème 2.8.3:

Loi des sinus. Si $A,B,C$ sont les trois sommets d’un triangle planaire, et $a,b,c$ les trois côtés tel que $a,b,c$ sont opposés aux sommets $A,B,C$ respectivement, alors:

\frac{\sin(A)}{a}=\frac{\sin(B)}{b}=\frac{\sin(C)}{c}

Démonstration.

Premièrement, si l’un des angles est droit, alors la loi se ramène directement à la définition du sinus donnée à partir d’un triangle rectangle. Il n’y a donc rien à dire. Autrement, nous avons deux cas à traiter dépendant de si les trois angles sont aigus, ou bien si l’un des angles est obtus.

Cas 1 - Les trois angles sont aigus: Considérons le triangle $ABC$ ci-dessous, et supposons que chacun des angles est aigu. On dessine la hauteur issue du sommet $C$ et on dénote par $H$ le point d’intersection de cette hauteur avec le côté $AB$ .

Dans ce cas, on obtient deux triangles rectangles: $AHC$ et $BHC$ . En utilisant la définition de $\sin(A)$ et $\sin(B)$ donnée à partir des triangles rectangles, puis en isolant la hauteur $CH$ de chacune de ces deux équations, on obtient la première égalité. La seconde égalité s’obtient de la même façon en dessinant une hauteur différente.

Cas 2 - L’un des angles est obtus: Supposons sans perte de généralité que c’est l’angle $A$ qui est obtus. Comme pour le cas précédent, on commence par dessiner la hauteur issue de $C$ , et on dénote son point d’intersection avec le côté $AB$ par $H$ . Par définition de la fonction sinus, on obtient donc:

\frac{\sin(B)}{AC}=\frac{CH}{AC\cdot BC}=\frac{\nicefrac{{CH}}{{AC}}}{BC}=% \frac{\sin(\angle HAC)}{BC}=\frac{\sin(180-\angle A)}{BC}

En définissant $\sin(180-\angle A)=\sin(A)$ , ce que nous allons faire immédiatement après la démonstration, on obtient la première égalité. On utilise ensuite la même méthode du premier cas pour obtenir l’autre égalité.

∎

Aux vues de la démonstration précédente, il devient donc naturel de faire la définition suivante.

Définition 2.8.3.

Si $\theta$ est un angle entre $90$ et $180$ degrés, alors on définit $\sin(\theta)=\sin(180-\theta)$ .

Théorème 2.8.4:

Loi des cosinus ou loi d’Al-Kashi. Si $A,B,C$ sont les trois sommets d’un triangle planaire, et $a,b,c$ les trois côtés tel que $a,b,c$ sont opposés aux sommets $A,B,C$ respectivement, alors:

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(A)

b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos(B)

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(C)

Démonstration.

Nous allons démontrer uniquement la première équation. Les deux autres se démontrent de la même façon. Premièrement, remarquons que si $A$ est un angle de $90$ degré, alors l’équation se réduit au théorème de Pythagore. Il n’y a donc rien à démontrer. Nous n’avons donc que deux cas à traiter dépendant de si $A$ est un angle aigu ou obtus.

Cas 1 - L’angle $A$ est aigu: Ce cas est laissé en exercice. Il s’agit de commencer par abaisser la hauteur issue de $C$ et d’appliquer le théorème de Pythagore.

Cas 2 - L’angle $A$ est obtus: Supposons que l’angle $A$ est obtus, et abaissons la hauteur issue de $C$ . On dénote le point d’intersection entre cette hauteur et le prolongement de $AB$ par la lettre $H$ comme sur la figure ci-dessous:

En appliquant le théorème de Pythagore, on obtient donc:

$\displaystyle BC^{2}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle CH^{2}+BH^{2}=AC^{2}-AH^{2}+(AH+AB)^{2}=AC^{2}-AH^{2}+AH^{2}+2AH% \cdot AB+AB^{2}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle AC^{2}+AB^{2}+2AH\cdot AB=AC^{2}+AB^{2}+2AB\cdot AC\cos(\angle CAH)$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle AC^{2}+AB^{2}-2AB\cdot AC[-\cos(180-\angle A)]$

En définissant $\cos(A)=-\cos(180-A)$ comme nous allons le faire immédiatement après la démonstration, on obtient l’équation. ∎

Aux vues de la démonstration précédente, il devient donc naturel de faire la définition suivante.

Définition 2.8.4.

Si $\theta$ est un angle entre $90$ et $180$ degrés, alors on définit $\cos(\theta)=-\cos(180-\theta)$ .

Pour conclure cette section, nous allons regarder les formules d’addition et de soustraction pour les fonctions sinus et cosinus.

Théorème 2.8.5:

Sinus et cosinus d’une somme. Pour tout angle $A$ et $B$ on a les deux égalités suivantes:

\sin(\alpha\pm\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)\pm\cos(\alpha)\sin(\beta)

\cos(\alpha\pm\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)\mp\sin(\alpha)\sin(\beta)

Démonstration.

La démonstration de ces deux égalités (ou plutôt $4$ ) repose sur les deux diagrammes ci-dessous. Le premier dans le cas des sommes, et le second pour les différences. Le premier diagramme est obtenu en plaçant les deux angles, celui de mesure $\alpha$ et celui de mesure $\beta$ , côte à côte avec un sommet et un segment commun. On choisit ensuite un point $A$ quelconque sur le segment commun. On dessine une droite perpendiculaire à $OA$ passant par $A$ , et on dénote le point d’intersection avec le segment supérieur de l’angle $\beta$ par la lettre $B$ . À partir de $B$ , on dessine ensuite une perpendiculaire à $OD$ et on dénote par $C$ le point d’intersection avec le segment à la base de l’angle $\alpha$ . Ensuite, on dessine une perpendiculaire à $OC$ passant par $A$ , et on dénote le point d’intersection par $D$ . Finalement, on dessine une perpendiculaire au segment $BC$ passant par $A$ , et on dénote le point d’intersection par $E$ .

Pour le second diagramme, l’idée est similaire. À nouveau, on place les deux angles de sorte qu’un segment (celui du haut) et la somme $O$ soient communs, mais on place cependant les deux angles de sorte que l’angle de mesure $\beta$ soit inclus dans celui d’angle $\alpha$ . On dessine ensuite une perpendiculaire au segment supérieur passant par $A$ , ce qui nous donne le point d’intersection $B$ . On dessine ensuite des perpendiculaires au segment inférieur, le premier passant par $B$ et le second passant par $A$ , ce qui nous donne les points d’intersection $C$ et $D$ respectivement. On dessine ensuite une droite parallèle au segment $OD$ et passant par $B$ , et on dénote le point d’intersection avec la droite $AD$ par $E$ .

Dans chaque cas, l’idée est de remarquer que l’angle $\alpha$ est présent à plus d’un endroit. Le reste des détails vous est laissé en exercice.


Diagramme pour les sommes	Diagramme pour les différences

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