2.1 La géométrie d’Euclide

Les axiomes d’Euclide

Comme nous l’avons mentionné dans la section précédente, nous allons adopter la méthode présentée par Euclide dans « Les éléments » pour notre étude de la géométrie. Les livres d’Euclide commencent par un ensemble de définitions, 35 pour être précis. Plusieurs ne sont plus aujourd’hui considérées adéquates, mais illustrent tout de même l’importance pour Euclide de tout définir. Les deux premières s’énoncent comme suit:

—

Le point est ce dont la partie est nulle.
—

Un segment est une longueur sans largeur.

Comme vous pouvez le constater, ces définitions n’apportent pas beaucoup de clarté et l’approche moderne permet d’éviter de devoir les définir. Dans ce livre, nous allons supposer la notion de point comme étant connue et nous n’en donnerons pas de définition. Pour ce qui est d’un segment, nous allons le définir comme étant le plus court trajet entre deux points. Cette définition aura l’avantage d’être valide non seulement en géométrie euclidienne, mais aussi en géométrie sphérique ou même dans toute autre géométrie dans laquelle il est possible de définir une notion de distance.

Les éléments d’Euclide continuent ensuite en énonçant un ensemble de 5 postulats (ou axiomes). Ce sont des résultats qui sont supposés vrais, sans démonstration, et à partir desquels tous les autres résultats seront démontrés. Les cinq axiomes d’Euclide sont les suivants:

1.

Un segment peut être tracé en joignant deux points quelconques distincts.
2.

Un segment peut être prolongé indéfiniment en une droite.
3.

Étant donné un segment quelconque, un cercle peut être tracé en prenant ce segment comme rayon et l’une de ses extrémités comme centre.
4.

Tous les angles droits sont congrus.
5.

Si deux droites sont sécantes avec une troisième de telle façon que la somme des angles intérieurs d’un côté est strictement inférieure à deux angles droits, alors ces deux droites sont forcément sécantes de ce côté.

À noter que de façon moderne, le 5e axiome peut être réécrit sous la forme ci-dessous. C’est sous cette forme que nous l’utiliserons dans notre cours.

5.

Par un point passe exactement une droite parallèle à une droite donné.

Les axiomes 1 et 2 nous indiquent indirectement qu’il nous est permis d’utiliser une règle non graduée pour faire nos constructions, alors que le 3e nous permet l’utilisation du compas. Aucun autre outil n’est permis selon cette approche. En particulier, il est très important de réaliser qu’il n’y a absolument aucun système de coordonnées. Le 2e axiome nous donne aussi une définition de la droite, alors que le 3e axiome nous fournit une définition d’un cercle. On a donc que la droite est le prolongement d’un segment à l’infini dans les deux directions, alors que le cercle est le lieu des points qui se trouvent à égale distance d’un point que l’on appelle son centre.

Le 4e axiome peut sembler inutile, mais il joue un rôle fondamental en nous permettant de standardiser en quelque sorte la notion d’angle droit, et en nous permettant d’effectuer la mesure des autres angles en se comparant à lui. Finalement, le dernier axiome est différent des autres, et ressemble plus à un résultat qu’à une hypothèse. Il nous affirme l’existence et l’unicité des parallèles passant par un point donné. Pendant longtemps, on a cru qu’il était possible de le démontrer à l’aide des 4 premiers, mais ce n’est que plusieurs siècles plus tard qu’on réalisera que ce n’est en fait pas le cas. Ces axiomes devraient vous paraître évidents. Pourtant, le 5e a été le sujet de nombreuses controverses qui finiront par donner naissance beaucoup plus tard aux géométries non-euclidiennes dans lesquelles on remettra en question ces postulats. Il est important de noter que les axiomes d’Euclide s’intéressent particulièrement aux droites et aux cercles. C’est pourquoi la géométrie d’Euclide est directement associée aux constructions à la règle (non graduée) et au compas. Le développement de la géométrie à partir d’une base axiomatique selon l’approche d’Euclide porte le nom de géométrie synthétique. Il s’agit de la forme de géométrie la plus pure. Lorsque les axiomes utilisés sont ceux d’Euclide, on parlera alors de géométrie euclidienne synthétique.

Quelques définitions importantes

Nous allons maintenant terminer cette section avec quelques définitions en lien avec les angles, segments et triangles qui nous seront utiles tout au long du texte.

Définitions pour les angles et les segments
Bissectrice d’un angle	La bissectrice d’un angle est la droite divisant un angle en deux angles congrus.
Médiatrice d’un segment	La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à un segment et passant par son milieu.

Noms donnés à des triangles
Triangle isocèle	Un triangle est isocèle s’il a (au moins) deux côtés congrus.
Triangle équilatéral	Un triangle est équilatéral s’il a trois côtés congrus.
Triangle isoangle	Un triangle est dit isoangle s’il a (au moins) deux angles congrus.
Triangle équiangle	Un triangle est dit équiangle s’il a trois angles congrus.
Triangle rectangle	Un triangle rectangle est un triangle ayant un angle droit, c’est à dire un triangle ayant un angle de 90^o.

Droites remarquables d’un triangle
Bissectrice (intérieure) d’un triangle	La bissectrice ou bissectrice intérieur d’un triangle $\triangle ABC$ passant par le sommet $A$ est la bissectrice de l’angle intérieur du triangle passant par le sommet $A$ .
Bissectrice extérieure d’un triangle	La bissectrice extérieure d’un triangle $\triangle ABC$ passant par le sommet $A$ est la bissectrice de l’angle formé par le segment $AB$ et le prolongement du segment $AC$ , ou alternativement la bissectrice de l’angle formé par le segment $AC$ et le prolongement du segment $AB$ .
Médiatrice d’un triangle	La médiatrice d’un triangle $\triangle ABC$ par rapport au segment $AB$ est la médiatrice du segment $AB$ .
Hauteur d’un triangle	La hauteur d’un triangle $\triangle ABC$ passant par le sommet $A$ , est la droite perpendiculaire à la droite $BC$ et passant par le point $A$ . Lorsque l’on fait référence à la longueur de la hauteur, on considère uniquement le segment allant du point $A$ à la droite $BC$ .
Médiane d’un triangle	La médiane d’un triangle $\triangle ABC$ passant par le sommet $A$ , est la droite passant par le sommet $A$ et le milieu du segment $BC$ .

Noms donnés à des quadrilatères
Quadrilatère	Un polygone ayant $4$ cotes.
Carré	Un quadrilatère ayant $4$ cotes congrus et 4 angles droits.
Rectangle	Un quadrilatère ayant $4$ angles droits.
Losange	Un quadrilatère ayant $4$ cotes congrus.
Parallélogramme	Un quadrilatère ayant 2 paires de cotes opposes parallèles.
Cerf-volant	Un quadrilatère ayant 2 paires de cotes adjacents de même longueur.
Trapèze	Un quadrilatère ayant au moins une paire de cote opposé parallèle.
Trapèze isocèle	Un quadrilatère ayant une paire de cotés opposés parallèles et l’autre paire sont des cotés congrus.

Définition concernant les cercles
Cercle	Le lieu des points qui se trouve à égal distance d’un point que l’on appelle le centre du cercle.
Rayon	Un segment reliant un point du cercle et son centre.
Corde	Un segment reliant deux points d’un cercle.
Diamètre	Une corde de longueur maximale.
Arc	Une portion d’un cercle délimité entre deux points du cercle.
Angle au centre	Si $A$ et $B$ sont des points d’un cercle de centre $O$ , alors on dit que l’angle $AOB$ est un angle au centre.
Angle inscrit	Si $A,B$ et $C$ sont des points d’un cercle, alors on dit que l’angle $ABC$ est un angle inscrit.