2.7 La formule d’Héron

Nous allons maintenant terminer ce chapitre par une application du théorème de Pythagore (Théorème 2.6.3) aux calculs d’aire de triangles. Cette formule est particulièrement utile, car elle nous permet de calculer l’aire d’un triangle directement à partir de la longueur des trois côtés sans avoir recours à la hauteur du triangle.

Théorème 2.7.1:

Formule d’Héron. L’aire d’un triangle △⁢A⁢B⁢C\triangle ABC est donné par la formule suivante:

[A⁢B⁢C]=s⁢(s−A⁢B)⁢(s−B⁢C)⁢(s−A⁢C)[ABC]=\sqrt{s(s-AB)(s-BC)(s-AC)}

où ss dénote le demi-périmètre:

s=A⁢B+B⁢C+A⁢C2s=\frac{AB+BC+AC}{2}
Démonstration.

On commence par dessiner la hauteur du triangle issue du sommet AA et on dénote son point d’intersection avec la droite B⁢CBC par HH.

En appliquant deux fois le théorème de Pythagore (Théorème 2.6.3), on obtient:

A⁢B2\displaystyle AB^{2} =\displaystyle= B⁢H2+A⁢H2\displaystyle BH^{2}+AH^{2}
A⁢C2\displaystyle AC^{2} =\displaystyle= C⁢H2+A⁢H2=(B⁢C−B⁢H)2+A⁢H2\displaystyle CH^{2}+AH^{2}=(BC-BH)^{2}+AH^{2}

En soustrayant ces deux équations, on obtient donc:

A⁢C2−A⁢B2=(B⁢C−B⁢H)2−B⁢H2=B⁢C2−2⁢B⁢C⋅B⁢HAC^{2}-AB^{2}=(BC-BH)^{2}-BH^{2}=BC^{2}-2BC\cdot BH

Ce qui nous permet d’obtenir:

B⁢H=A⁢B2+B⁢C2−A⁢C22⁢B⁢CBH=\frac{AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}{2BC}

En appliquant à nouveau le théorème de Pythagore (Théorème 2.6.3), on obtient finalement une expression pour la hauteur du triangle:

A⁢H=A⁢B2−B⁢H2=A⁢B2−(A⁢B2+B⁢C2−A⁢C2)24⁢B⁢C2AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{AB^{2}-\frac{(AB^{2}+BC^{2}-AC^{2})^{2}}{4BC^{2}}}

Nous sommes maintenant en mesure d’obtenir un expression pour l’aire du triangle à partir de ses côtés:

[A⁢B⁢C]=B⁢C⋅A⁢H2=B⁢C2⁢A⁢B2−(A⁢B2+B⁢C2−A⁢C2)24⁢B⁢C2=(2⁢A⁢B⋅B⁢C)2−(A⁢B2+B⁢C2−A⁢C2)216[ABC]=\frac{BC\cdot AH}{2}=\frac{BC}{2}\sqrt{AB^{2}-\frac{(AB^{2}+BC^{2}-AC^{2% })^{2}}{4BC^{2}}}=\sqrt{\frac{(2AB\cdot BC)^{2}-(AB^{2}+BC^{2}-AC^{2})^{2}}{16}}

En remarque que nous avons une différence de carré à l’intérieur de la racine, ce qui nous permet d’écrire:

[A⁢B⁢C]\displaystyle[ABC] =\displaystyle= (2⁢A⁢B⋅B⁢C+A⁢B2+B⁢C2−A⁢C2)⁢(2⁢A⁢B⋅B⁢C−A⁢B2−B⁢C2+A⁢C2)16\displaystyle\sqrt{\frac{(2AB\cdot BC+AB^{2}+BC^{2}-AC^{2})(2AB\cdot BC-AB^{2}% -BC^{2}+AC^{2})}{16}}
=\displaystyle= ((A⁢B+B⁢C)2−A⁢C2)⁢(A⁢C2−(A⁢B−B⁢C)2)16\displaystyle\sqrt{\frac{((AB+BC)^{2}-AC^{2})(AC^{2}-(AB-BC)^{2})}{16}}

On obtient cette fois deux différence de carré. En les factorisants, on obtient donc:

[A⁢B⁢C]\displaystyle[ABC] =\displaystyle= (A⁢B+B⁢C−A⁢C)⁢(A⁢B+B⁢C+A⁢C)⁢(A⁢C−A⁢B+B⁢C)⁢(A⁢C+A⁢B−B⁢C)16\displaystyle\sqrt{\frac{(AB+BC-AC)(AB+BC+AC)(AC-AB+BC)(AC+AB-BC)}{16}}
=\displaystyle= (A⁢B+B⁢C+A⁢C−2⁢A⁢C2)⁢(A⁢B+B⁢C+A⁢C2)⁢(A⁢B+B⁢C+A⁢C−2⁢A⁢B2)⁢(A⁢B+B⁢C+A⁢C−2⁢B⁢C2)\displaystyle\sqrt{\left(\frac{AB+BC+AC-2AC}{2}\right)\left(\frac{AB+BC+AC}{2}% \right)\left(\frac{AB+BC+AC-2AB}{2}\right)\left(\frac{AB+BC+AC-2BC}{2}\right)}

Ce qui nous donne finalement en posant s=A⁢B+B⁢C+A⁢C2s=\frac{AB+BC+AC}{2}:

[A⁢B⁢C]=(s−A⁢C)⁢(s)⁢(s−A⁢B)⁢(s−B⁢C)=s⁢(s−A⁢B)⁢(s−B⁢C)⁢(s−A⁢C)[ABC]=\sqrt{(s-AC)(s)(s-AB)(s-BC)}=\sqrt{s(s-AB)(s-BC)(s-AC)}

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