2.5 L’aire d’un triangle

Dans cette section, nous sommes intéressés à calculer l’aire d’un triangle $\triangle ABC$ , que nous dénoterons par $[ABC]$ , ce qui nous permettra dans un premier temps de démontrer la célèbre formule

\text{Aire}=\frac{\textrm{Base}\times\textrm{Hauteur}}{2}

Puis, nous en déduirons un théorème concernant les proportions d’aire qui s’avérera une technique importante dans les démonstrations de certains théorèmes. Pour ce faire, nous prenons pour acquis que l’aire d’un rectangle est donnée par le produit de la longueur de sa base par sa hauteur, ce qui est en fait une façon de définir la notion d’aire. Pour calculer l’aire d’un triangle, l’idée est de commencer par étudier l’aire d’un triangle rectangle, puis ensuite en divisant un triangle plus complexe en triangles rectangles.

Théorème 2.5.1:

Aire d’un triangle. L’aire d’un triangle est donnée par la formule base fois hauteur divisé par $2$ .

Démonstration.

Nous allons faire la démonstration en trois parties.

Supposons que $\triangle ABC$ est un triangle rectangle en $A$ . On dessine une parallèle à $AC$ passant par $B$ et une parallèle à $AB$ passant par $C$ (Axiome 5). On dénote le point d’intersection de ces deux droites parallèles par $D$ . Par les angles alternes-internes (Théorème 2.2.1), nous avons que $\angle CBA\cong\angle BCD$ et $\angle ACB\cong\angle DBC$ . Par la somme des angles d’un triangle (Théorème 2.2.2), nous avons donc: 180^∘= ∠BAC + ∠ACB + ∠CBA = 90^∘+ ∠ACB + ∠BCD = 90^∘+ ∠ACD Ce qui nous donne $\angle ACD=90^{\circ}$ . De la même façon, on obtient $\angle DBA=90^{\circ}$ . Ensuite, par ACA, les triangles $\triangle ABC$ et $\triangle BCD$ sont donc congrus. On a donc $AC\cong BD$ et $AB\cong CD$ . La figure $ABDC$ est donc un rectangle. De plus, comme $\triangle ABC\cong\triangle BCD$ , ces deux triangles doivent avoir la même aire. Comme l’aire du rectangle $ABDC$ est $AB\cdot AC$ , on obtient donc: AB ⋅AC = [ABC] + [BCD] = 2[ABC] ⇒ [ABC] = AB ⋅AC 2
Supposons maintenant que $\triangle ABC$ est un triangle pour lequel la hauteur issue de $C$ se trouve à l’intérieur du triangle. Dans ce cas, la hauteur $CD$ divise le triangle en deux triangles rectangles pour lesquels on sait déjà calculer l’aire. On obtient donc: [ABC] = AD ⋅DC 2 + DB ⋅DC 2 = (AD+DB)⋅DC 2 = AB ⋅DC 2
Supposons finalement que $\triangle ABC$ est un triangle pour lequel la hauteur issue de $C$ se trouve à l’extérieur du triangle. Dans ce cas, l’idée est semblable à la partie précédente. On commence par calculer l’aire du triangle $\triangle DBC$ et on soustrait l’aire du triangle $\triangle DAC$ , ce qui nous donne: [ABC] = DB⋅DC 2 - DA ⋅DC 2 = (DB-DA)⋅DC 2 = AB⋅DC 2

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Théorème 2.5.2:

Aire et proportion. Si $D$ est un point sur le segment $BC$ d’un triangle $\triangle ABC$ , alors

\frac{[ABD]}{[ADC]}=\frac{BD}{CD}

Démonstration.

Il s’agit premièrement de remarquer que les triangles $\triangle ABD$ et $\triangle ACD$ ont une hauteur commune issue du sommet $A$ . Nous allons dénoter par $H$ le point d’intersection de cette hauteur avec la droite $BC$ .

Par le théorème sur l’aire d’un triangle (théorème 2.5.1), on obtient donc:

\frac{[ABD]}{[ADC]}=\frac{\nicefrac{{(BD\cdot AH)}}{{2}}}{\nicefrac{{(CD\cdot AH% )}}{{2}}}=\frac{BD}{CD}

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