8.2 Les triangles rectangles et les lois de Napier

Nous allons maintenant commencer notre étude des triangles sur une sphère. Comme pour le cas Euclidien, nous allons commencer par le cas des triangles rectangles. Dans le cas euclidien, la résolution des triangles passe par les définitions des fonctions sinus, cosinus et tangente en terme des côtés du triangle. L’équivalent de ces relations dans le cas sphérique est un ensemble de $10$ lois que l’on appelle les lois de Napier.

Théorème 8.2.1:

Lois de Napier. Supposons que $\triangle ABC$ est un triangle sphérique qui est rectangle au sommet $C$ , alors on a les égalités suivantes:

1.

$\sin(a)=\sin(c)\sin(A)$
2.

$\sin(b)=\cot(A)\tan(a)$
3.

$\cos(A)=\tan(b)\cot(c)$
4.

$\cos(c)=\cos(a)\cos(b)$ (Cette équation est le théorème de Pythagore sphérique (I))
5.

$\sin(b)=\sin(c)\sin(B)$
6.

$\sin(a)=\cot(B)\tan(b)$
7.

$\cos(B)=\tan(a)\cot(c)$
8.

$\cos(c)=\cot(A)\cot(B)$
9.

$\cos(B)=\sin(A)\cos(b)$
10.

$\cos(A)=\sin(B)\cos(a)$

Démonstration.

Supposons que $\triangle ABC$ est un triangle sphérique qui est rectangle au sommet $C$ sur une sphère de centre $O$ . On choisi un point $D$ quelconque sur le segment $OB$ et on dessine une perpendiculaire à $OC$ passant par $D$ . On dénote le point d’intersection entre cette perpendiculaire et la droite $OC$ par la lettre $E$ . Ensuite, on dessine une perpendiculaire au segment $OA$ passant par le point $E$ , et on dénote le point d’intersection entre cette perpendiculaire et la droite $OA$ par la lettre $F$ . Ceci nous permet d’obtenir un triangle planaire (i.e. euclidien) $\triangle DEF$ à l’intérieur de la sphère qui est rectangle au sommet $E$ .

En appliquant le théorème de Pythagore (Théorème 2.6.3), on a:

OF^{2}+DF^{2}=(OE^{2}-EF^{2})+(DE^{2}+EF^{2})=OE^{2}+DE^{2}=OD^{2}

ce qui nous permet d’affirmer par la réciproque du théorème de Pythagore, que le triangle $\triangle ODF$ est aussi un triangle rectangle. De plus, par construction, $\angle DFE=\angle A$ . Il faut cependant faire attention, car $\angle EDF\neq\angle B$ . À partir du schéma, on obtient immédiatement les $4$ identités suivantes:

1.

$\sin(a)=\sin(c)\times\sin(A)$
2.

$\sin(b)=\cot(A)\times\tan(a)$
3.

$\cos(A)=\tan(b)\times\cot(c)$
4.

$\cos(c)=\cos(a)\times\cos(b)$

En échangeant le rôle des sommets (et des côtés) $A$ et $B$ dans la figure, on peut ensuite trouver les trois identités suivantes:

1.

$\sin(b)=\sin(c)\times\sin(B)$
2.

$\sin(a)=\cot(B)\times\tan(b)$
3.

$\cos(B)=\tan(a)\times\cot(c)$

Pour obtenir les trois dernières identités, il suffit maintenant d’appliquer un peu d’algèbre.

1.

$\cot(A)\cot(B)=\frac{\sin(b)}{\tan(a)}\cdot\frac{\sin(a)}{\tan(b)}=\cos(a)\cos% (b)=\cos(c)$
2.

$\sin(A)\cos(b)=\frac{\sin(a)}{\sin(c)}\cdot\frac{\cos(c)}{\cos(a)}=\tan(a)\cot% (c)=\cos(B)$
3.

$\sin(B)\cos(a)=\frac{\sin(b)}{\sin(c)}\cdot\frac{\cos(c)}{\cos(b)}=\tan(b)\cot% (c)=\cos(A)$

∎

Truc mnémonique pour les lois de Napier

Il peut sembler particulièrement difficile de mémoriser les $10$ lois de Napier, mais il existe un truc mnémonique qui permet de les retrouver (relativement) facilement. On commence par dessiner le cercle de Napier. Pour ce faire, on place les différents côtés et angles du triangle dans l’ordre dans qu’ils apparaissent, en ignorant l’angle droit. On ajoute ensuite "co" aux valeurs opposées à l’angle droit (un côté et deux angles). Ensuite, on applique les règles suivantes pour nous permettre de retrouver les différentes identités.

Règle 1: Sin co-op
Le sinus d’une partie est égal au produit des cosinus des parties opposés.

Règle 2: Sin tan-ad
Le sinus d’une partie est égal au produit des tangentes des parties adjacentes.

De plus, lorsque l’on rencontre un "co", il faut, bien entendu, faire les ajustements suivants :

\textrm{Sinus}\longleftrightarrow\textrm{Cosinus}

\textrm{Tangente}\longleftrightarrow\textrm{Cotangente}

C’est à dire que deux "co" consécutifs s’annulent. Il faut finalement noter que ces deux règles sont l’équivalent du SOH CAH TOA que l’on utilise pour les triangles rectangles euclidiens.