8.6 Applications

Nous allons maintenant nous intéresser à quelques applications de la géométrie sphérique en lien avec des problèmes de navigation sur terre. la terre a un rayon approximatif de $6\leavevmode\nobreak\ 371$ km, mais n’est pas une sphère parfaite, ce qui donne quelques petites erreurs d’arrondi. Cependant, les valeurs obtenues seront tout de même très proches de la réalité.

Dans les atlas (ou sur Wikipédia), les coordonnées des villes ou points d’intérêt sont traditionnellement données en degrés-minutes-secondes. Par exemple, Winnipeg se trouve aux coordonnées $49^{\circ}53^{\prime}4^{\prime\prime}$ Nord, $97^{\circ}8^{\prime}47^{\prime\prime}$ Ouest. La première coordonnée est la latitude et la seconde la longitude. Chaque ligne imaginaire sur terre correspondant à une même latitude porte le nom de parallèle. De la même façon, chaque ligne imaginaire correspondant à une même longitude porte le nom de méridien. Notez que les méridiens sont des droites au sens de la géométrie sphérique passant par chacun des deux pôles, mais les parallèles ne le sont pas, leur nom venant uniquement de l’apparence qu’elles prennent lorsque vue de face.

(a) Vue de face

(b) Vue de haut

Figure 8.3: Latitude et longitude de Winnipeg

Comme nous l’avons déjà mentionné, les coordonnées (latitude / longitude) sont traditionnellement données sous la forme degrés-minutes-secondes. La plupart des calculatrices permettent d’entrer les valeurs directement sous cette forme. Autrement, il est facile de convertir un angle exprimé en degrés-minutes-secondes sous forme décimale en utilisant la formule suivante:

a^{\circ}b^{\prime}c^{\prime\prime}=a+\frac{b}{60}+\frac{c}{3600}

La conversion contraire est aussi facile à obtenir. Si l’on dénote par $x$ une mesure d’angle donnée sous forme décimale, alors la mesure de cet angle sous la forme $a^{\circ}b^{\prime}c^{\prime\prime}$ est obtenue par l’algorithme suivant, où $\lfloor x\rfloor$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $x$ .

a=\lfloor x\rfloor

b=\lfloor 60(x-a)\rfloor

c=60\Big{(}60(x-a)-b\Big{)}

Pour évaluer des distances ou directions entre deux points sur terre, on utilise habituellement le pôle nord comme troisième point de référence. Bien que les distances soient mesuré en degré ou radian en géométrie sphérique, dans les applications pratique on est souvent intéressé aux distances mesurés en mètre ou kilomètre. Comme nous l’avons déjà mentionné, la conversion est relativement facile à faire à partir du rayon de la terre:

\frac{x_{\textrm{cm}}}{2\pi r}=\frac{x_{\textrm{deg}}}{360}

Pour ce qui est de la direction, elle est toujours mesuré en référence en pôle nord. On peut dire qu’un point $A$ se trouve à un azimut de $x$ degré pour signifier que l’angle formé entre le pôle nord, notre position et le point $A$ est de $x$ degré lorsque mesuré dans le sens horaire. De la même manière, on dira qu’un avion doit prendre un cap de $x$ degré pour se rendre au point $A$ . La notion d’azimut et de cap est donc essentiellement la même chose. On parle d’azimut lorsque la position d’origine est fixe, et on parle de cap lorsque l’on parle de la direction suivi par un objet en mouvement.

Exemple 8.6.1.

À partir de Sao Paulo au Brésil ( $23^{\circ}32^{\prime}52^{\prime\prime}$ S, $46^{\circ}38^{\prime}11^{\prime\prime}$ O) on souhaite se rendre à Lisbonne au Portugal ( $38^{\circ}43^{\prime}31^{\prime\prime}$ N, $9^{\circ}9^{\prime}00^{\prime\prime}$ O). On veut déterminer quelle est la distance entre les deux villes et le cap que doit suivre l’avion.

On commence par convertir les coordonnées sous forme décimale. Pour Sao Paulo on a:

23^{\circ}32^{\prime}52^{\prime\prime}=23+\frac{32}{60}+\frac{52}{3600}=23,547% 8^{\circ}\leavevmode\nobreak\ \textrm{Sud}\leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \textrm{ et }\leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \leavevmode\nobreak\ 46^{\circ}38^{\prime}11^{\prime}=46+\frac{38}{6% 0}+\frac{11}{3600}=46,6364^{\circ}\leavevmode\nobreak\ \textrm{Ouest}

De la même façon pour Lisbonne, on a:

38^{\circ}43^{\prime}31^{\prime\prime}=38+\frac{43}{60}+\frac{31}{3600}=38,725% 3^{\circ}\leavevmode\nobreak\ \textrm{Nord}\leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \textrm{ et }\leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \leavevmode\nobreak\ 9^{\circ}9^{\prime}00^{\prime\prime}=9+\frac{9}% {60}=9,15^{\circ}\leavevmode\nobreak\ \textrm{Ouest}

(a) Vue de face

(b) Vue de haut

Figure 8.4: Position de Sao Paulo et Lisbonne

À partir de ces valeurs, on peut représenter les villes de Sao Paolo et Lisbonne sur une vue de face et du haut de la terre (Voir figure 8.4). À partir de ces représentations, on peut construire un triangle sphérique ayant pour somme Sao Paulo, Lisbonne et le pôle nord. Sao Paulo étant dans l’hémisphère sud, sa distance avec le pôle nord est donné par $90^{\circ}+23,6478^{\circ}=113,5478^{\circ}$ . D’un autre côté, comme Lisbonne est dans l’hémisphère nord, sa distance avec le pôle nord est donné par $90^{\circ}-38,7253^{\circ}=51,2747^{\circ}$ . Pour ce qui est de l’angle entre Sao Paulo, le pôle nord et Lisbonne, on a $46,6364^{\circ}-9,15^{\circ}=37,4864^{\circ}$ .

Pour trouver la distance entre Sao Paulo et Lisbonne, il nous suffit maintenant d’appliquer la loi des cosinus (I).

	$\displaystyle\cos(a)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\cos(b)\cos(c)+\sin(b)\sin(c)\cos(A)$
		$\displaystyle=$	$\displaystyle\cos(51,2747)\cos(113,5478)+\sin(51,2747)\sin(113,5478)\cos(37,48% 64)$

Ce qui nous donne: $a=71,4840^{\circ}$ . Il nous faut maintenant convertir cette valeur en kilomètre:

\textrm{Ditance(Sao Paulo, Lisbonne)}=\frac{2\pi(6371)(71,4840)}{360}=7948,65% \textrm{km}

Maintenant, pour trouver le cap que doit prendre l’avion, on peut appliquer à nouveau la loi des cosinus, mais cette fois c’est l’angle que l’on cherche. On a donc:

$\displaystyle\cos(b)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\cos(a)\cos(c)+\sin(a)\sin(c)\cos(B)$
$\displaystyle\cos(B)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{\cos(b)-\cos(a)\cos(c)}{\sin(a)\sin(c)}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{\cos(51,2747)-\cos(71,4840)\cos(113,5478)}{\sin(71,4840)% \sin(113,5478)}$

Ce qui nous donne $B=30,05^{\circ}$ . L’avion doit donc suivre un cap de $30,05$ degré.

Exemple 8.6.2.

On prend l’avion au départ de Vienne en Autriche ( $48^{\circ}12^{\prime}30^{\prime\prime}$ N, $16^{\circ}22^{\prime}21^{\prime\prime}$ E) sur une distance de $4979$ km et avec un cap de $296,36^{\circ}$ . On veut trouver à quel endroit nous serons à notre arrivé. Pour ce faire, on commence par convertir la distance en degré. Comme le rayon de la terre est de $6371$ km, on obtient:

\frac{4979}{2\pi(6371)}=\frac{x_{\textrm{deg}}}{360}\leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ x_{\textrm{deg}}=44,7772^{\circ}

De plus, à partir de la latitude de Vienne, on peut déduire que la distance entre le pôle nord et Vienne est de:

90-\left(48+\frac{12}{60}+\frac{30}{3600}\right)=49,7917^{\circ}

Ensuite, on sait que l’avion prend le cap $296,36^{\circ}$ , mais comme nous travaillons toujours avec les plus petit angle, l’angle formé entre le pôle nord, Vienne et le point d’arriver sera:

360-296,36=63,64^{\circ}

(a) Représentation du cap

(b) Triangle du problème

Figure 8.5: Position de Vienne et notre destination mystère

On applique ensuite la loi des cosinus (I) pour trouver la distance entre le pôle nord et notre point d’arrivé. On a donc:

	$\displaystyle\cos(c)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)\cos(C)$
		$\displaystyle=$	$\displaystyle\cos(44,7772)\cos(41,7916)+\sin(44,7772)\sin(41,7916)\cos(63,64)$

Ce qui nous donne $c=42,4673^{\circ}$ . Il nous faut maintenant trouver l’angle formé au pôle nord. Pour ce faire, on peut appliquer à nouveau la loi des cosinus (I):

$\displaystyle\cos(a)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\cos(b)\cos(c)+\sin(b)\sin(c)\cos(A)$
$\displaystyle\cos(A)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{\cos(a)-\cos(b)\cos(c)}{\sin(b)\sin(c)}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{\cos(44,7772)-\cos(41,7916)\cos(42,4673)}{\sin(41,7916)\sin% (42,4673)}$

Ce qui nous donne $A=69,1878^{\circ}$ . Il nous faut maintenant revenir aux latitudes / longitudes de notre point d’arrivé. Pour la latitude on a:

90-42,4673=47,5327\leavevmode\nobreak\ \textrm{N}

Et pour la longitude, on peut l’obtenir à partir de l’angle au pôle nord combiné avec la longitude de Vienne, ce qui nous donne:

\left(16+\frac{22}{60}+\frac{21}{3600}\right)-69,1878=-52,8153

Ce qui signifie une longitude de $52,8153$ O. On peut maintenant entrer ces coordonnées sur google maps pour trouver notre position d’arrivé, ce qui nous donne comme réponse finale la ville de St John’s à Terre-Neuve. Pour compléter notre travaille, on peut maintenant reconvertir les coordonnées en degrés-minutes-secondes.

\textrm{Latitude:}\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \left\{\begin{% array}[]{l}47,5327\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \longrightarrow\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ 47\leavevmode\nobreak\ \textrm{degr\'{e}s}\\ 0,5327\times 60=31,962\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \longrightarrow\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ 31\leavevmode\nobreak\ \textrm{minutes}\\ 0,962\times 60=57,72\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \longrightarrow\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ 58\leavevmode\nobreak\ \textrm{secondes}\end{array}\right.

\textrm{Longitude:}\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \left\{\begin{% array}[]{l}52,8153\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \longrightarrow\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ 52\leavevmode\nobreak\ \textrm{degr\'{e}s}\\ 0,8153\times 60=48,918\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \longrightarrow\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ 48\leavevmode\nobreak\ \textrm{minutes}\\ 0,918\times 60=55,08\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \longrightarrow\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ 55\leavevmode\nobreak\ \textrm{secondes}\end{array}\right.

Les coordonnées de la ville d’arrivée (St John’s) sont donc: $47^{\circ}31^{\prime}58^{\prime\prime}\leavevmode\nobreak\ \textrm{Nord},% \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ 52^{\circ}48^{\prime}55^{\prime% \prime}\leavevmode\nobreak\ \textrm{Ouest}$ .