8.3 Résolution des triangles quelconques

Théorème 8.3.1:

Loi des sinus. Si A,B,CA,B,C sont les trois sommets d’un triangle sphérique, et a,b,ca,b,c les trois côtés tel que a,b,ca,b,c sont opposés aux sommets A,B,CA,B,C respectivement, alors:

sin⁡(A)sin⁡(a)=sin⁡(B)sin⁡(b)=sin⁡(C)sin⁡(c)\frac{\sin(A)}{\sin(a)}=\frac{\sin(B)}{\sin(b)}=\frac{\sin(C)}{\sin(c)}
Démonstration.
Considérons un triangle sphérique A⁢B⁢CABC et dessinons une droite (sur la sphère) perpendiculaire à B⁢CBC et passant par AA. On obtient donc deux triangle sphérique rectangle. On peut donc appliquer les lois de Napier, ce qui nous donne: sin(B) = sin(h) sin(c)       et       sin(C) = sin(h) sin(b) En isolant sin⁡(h)\sin(h) dans ces deux équations, et en les comparants, on obtient donc: sin(h) = sin(B) sin(c) = sin(C) sin(b)       ⇒      sin(B) sin(b) = sin(C) sin(c) On peut ensuite dessiner un autre perpendiculaire pour obtenir l’autre égalité. [Uncaptioned image]

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Théorème 8.3.2:

Loi des cosinus (I). Si A,B,CA,B,C sont les trois sommets d’un triangle sphérique, et a,b,ca,b,c les trois côtés tel que a,b,ca,b,c sont opposés aux sommets A,B,CA,B,C respectivement, alors:

cos⁡(a)=cos⁡(b)⁢cos⁡(c)+sin⁡(b)⁢sin⁡(c)⁢cos⁡(A)\cos(a)=\cos(b)\cos(c)+\sin(b)\sin(c)\cos(A)
Démonstration.

La méthode est très similaire à celle que vous avez utilisée pour démontrer la loi des cosinus dans le cas euclidien. Commencez par dessiner la hauteur issue du sommet CC pour obtenir deux triangles rectangles, et appliquez le théorème de Pythagore sphérique pour réécrire le cos⁡(a)\cos(a) comme un produit. Vous aurez par la suite besoin de l’identité trigonométrique suivante que vous pouvez accepter sans démonstration:

cos⁡(θ−ϕ)=cos⁡(θ)⁢cos⁡(ϕ)+sin⁡(θ)⁢sin⁡(ϕ)\cos(\theta-\phi)=\cos(\theta)\cos(\phi)+\sin(\theta)\sin(\phi)

Pour éviter de démontrer plusieurs cas, vous pouvez supposer que la hauteur se trouve à l’intérieur du triangle. Les détails vous sont laissé en exercice. ∎