8.4 Triangle dual

En géométrie euclidienne, les lois des sinus et des cosinus sont suffisantes pour résoudre tous les triangles à partir de seulement $3$ valeurs, sauf bien entendu dans le cas où ces trois valeurs sont les trois angles. Dire que ces deux lois sont suffisantes n’est cependant pas tout à fait correct, car il y a un autre outil important qui est à notre disposition dans le cas euclidien: La somme des angles internes est toujours $180^{\circ}$ .

Dans le cas sphérique, la situation est un peu différente. En effet, la loi des sinus et la loi des cosinus (I) ne sont pas suffisantes. Il nous faut un autre outil à notre disposition pour pouvoir résoudre tous les triangles. C’est le concept de triangle dual, qui nous mènera à la loi des cosinus (II), qui viendra remédier à ce problème.

Pour chaque grand cercle d’une sphère, il existe exactement deux points opposés qui forment un angle de $90^{\circ}$ avec tous les points du grand cercle. Ces deux points portent le nom de pôles du grand cercle. Inversement, pour chaque point sur une sphère, on peut définir un unique grand cercle pour lequel le point est un pôle. Ce grand cercle porte le nom d’équateur. À partir des notions de pôle et d’équateur, il nous est maintenant possible de définir la notion de triangle dual.

Définition 8.4.1.

Si $\triangle ABC$ est un triangle sphérique, alors on définit $A^{\prime}$ comme étant le pôle du grand cercle passant par $B$ et $C$ , qui se trouve du même côté que $A$ par rapport au grand cercle. De la même façon, on définit $B^{\prime}$ comme étant le pôle du grand cercle passant par $A$ et $C$ , qui se trouve du même côté que $B$ , et de la même manière pour $C^{\prime}$ . Le triangle sphérique $\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ porte le nom de triangle dual.

Théorème 8.4.1:

Triangle dual. La mesure d’un angle d’un triangle sphérique, et la mesure du côté correspondant dans le triangle dual sont supplémentaires.

Démonstration.

La démonstration vous est laissé en exercice. L’idée est de dessiner un triangle $\triangle ABC$ sur une sphère, ainsi que son triangle dual $\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ . On dénote ensuite le point d’intersection de la droite AB avec la droite $B^{\prime}C^{\prime}$ par la lettre $D$ , et le point d’intersection de la droite $AC$ avec la droite $B^{\prime}C^{\prime}$ par la lettre $E$ . Vous devriez obtenir une figure similaire à celle ci-dessous. Déterminer ensuite la longueur des segments $B^{\prime}E,DC^{\prime}$ et $DE$ .

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Théorème 8.4.2:

Loi des cosinus (II). Si $A,B,C$ sont les trois sommets d’un triangle sphérique, et $a,b,c$ les trois côtés tel que $a,b,c$ sont opposés aux sommets $A,B,C$ respectivement, alors:

\cos(A)=-\cos(B)\cos(C)+\sin(B)\sin(C)\cos(a)

Démonstration.

Nous allons démontrer seulement la première des trois lois, les deux autres se démontrant exactement de la même façon. Si $\triangle ABC$ est un triangle sphérique, et $\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ son triangle dual. On applique la première loi des cosinus au triangle $\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ , ce qui nous donne:

\cos(a^{\prime})=\cos(b^{\prime})\cos(c^{\prime})+\sin(b^{\prime})\sin(c^{% \prime})\cos(A^{\prime})

Maintenant, on utilise le lemme précédent pour réécrire l’équation en terme du triangle $\triangle ABC$ . On obtient donc:

\cos(180-A)=\cos(180-B)\cos(180-C)+\sin(180-B)\sin(180-C)\cos(180-a)

Maintenant, en se rappelant que $\cos(180-x)=-\cos(x)$ et $\sin(180-x)=\sin(x)$ pour tout $x$ , alors l’équation peut être simplifiée pour obtenir:

-\cos(A)=\cos(B)\cos(C)-\sin(B)\sin(C)\cos(a)\leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \cos(A)=-\cos(B)\cos(C)+\sin(B)\sin(C)\cos(a)

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Cette loi a une conséquence intéressante. Il est possible de résoudre complètement un triangle en connaissant uniquement la mesure des trois angles. Le critère AAA est donc un critère de congruence. Il faut cependant faire attention, car deux angles ne sont, bien entendu, pas suffisants.

Remarquez que la loi des cosinus (I) n’est pas la seule loi qui peut être dualisé. Il est aussi possible de dualiser chacune des lois de Napier, ce qui nous permet d’obtenir des propriétés concernant des triangles sphériques $\triangle ABC$ pour lesquels l’un des côtés mesure $90^{\circ}$ . Pour illustrer cette idée, nous allons dualiser le théorème de Pythagore (I). Supposons que $\triangle ABC$ est un triangle sphérique pour lequel $c=90^{\circ}$ , alors le triangle dual $\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ est rectangle ( $C=90^{\circ}$ ). Il satisfait donc le théorème de Pythagore (I):

\cos(a^{\prime})\cos(b^{\prime})=\cos(c^{\prime})

En appliquant le théorème 8.4.1, on obtient donc:

\cos(90-A)\cos(90-B)=\cos(90-C)\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \cos(A)=-\cos(B)\cos(C)

Cette loi porte le nom de théorème de Pythagore (II)