8.5 Aire et somme des angles

En géométrie euclidienne, l’aire d’un triangle est déterminée à partir de la mesure de ses côtés. Curieusement, comme nous allons le voir dans le prochain théorème, ce sont les mesures des angles qui nous permettent de calculer l’aire d’un triangle en géométrie sphérique.

Théorème 8.5.1:

Aire d’un triangle sphérique. L’aire d’un triangle sphérique d’angle $A,B$ et $C$ donné en degré et de rayon $r$ est donné par la formule

\textrm{Aire}=\frac{\pi r^{2}}{180}\Big{(}A+B+C-180\Big{)}

En particulier, on remarque que l’aire d’un triangle dépend uniquement de la mesure de ses angles et du rayon de la sphère.

Démonstration.

Prenons un triangle sphérique $\triangle ABC$ et prolongeons chaque côté pour obtenir les droites $AB,AC$ et $BC$ . Les droites $AB$ et $AC$ se croisent au point $A$ et en un second point que l’on note $A^{\prime}$ . Ce point est opposé au point $A$ . On définit de manière similaire les points $B^{\prime}$ et $C^{\prime}$ . Les droites $AB$ et $AC$ divisent la sphère en $4$ régions. Deux de ces régions sont définies à partir de l’angle $A$ , et les deux autres à partir du supplément de $A$ . On colore les deux régions définies à partir de l’angle $A$ en jaune. De la même façon, on colore en rouge les régions obtenues à partir de l’angle $B$ , puis en bleu les régions obtenues à partir de l’angle $C$ . On remarque qu’en procédant de cette façon, toute la sphère est colorée. Les triangles $\triangle ABC$ et $\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ sont recouverts simultanément de trois couleurs, alors que chacune des autres régions est recouverte d’une seule couleur.

L’aire de la région en jaune peut être calculée en proportion de l’aire de la sphère. On a donc:

\textrm{Aire}_{\textrm{jaune}}=\frac{2A}{360}(4\pi r^{2})=\frac{4\pi r^{2}A}{1% 80}

On peut procéder de manière similaire pour les régions rouges et bleues. On peut maintenant calculer l’aire de la sphère de deux manières différentes. On a donc:

\textrm{Aire}_{\textrm{sph\`{e}re}}=\textrm{Aire}_{\textrm{jaune}}+\textrm{% Aire}_{\textrm{rouge}}+\textrm{Aire}_{\textrm{bleue}}-4\textrm{Aire}_{\textrm{% triangle}}

4\pi r^{2}=\frac{4\pi r^{2}A}{180}+\frac{4\pi r^{2}B}{180}+\frac{4\pi r^{2}C}{% 180}-4\textrm{Aire}_{\textrm{triangle}}

\textrm{Aire}_{\textrm{triangle}}=\frac{\pi r^{2}A}{180}+\frac{\pi r^{2}B}{180% }+\frac{\pi r^{2}C}{180}-\pi r^{2}=\frac{\pi r^{2}}{180}\Big{(}A+B+C-180\Big{)}

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Théorème 8.5.2:

Somme des angles d’un triangle. Dans tous triangles sphériques, la somme des angles est strictement supérieur à $180$ degré.

Démonstration.

Il s’agit de remarquer que l’aire d’un triangle ne peut jamais être $0$ (si les sommets sont distincts) ni négative. Par le théorème précédent, si l’on dénote les trois angles du triangle par $A,B$ et $C$ , on doit donc avoir $A+B+C-180>0$ , ce qui nous donne directement le résultat. ∎