6.2 Inversion des droites et des cercles

Nous allons maintenant nous intéresser à l’effet que l’inversion a sur les droites et les cercles. Ceci est résumé dans le théorème suivant:

Théorème 6.2.1:

Effet de l’inversion sur les droites et les cercles. Si Γ\Gamma est un cercle de centre OO et de rayon rr, alors:

  1. 1.
    ​

    L’inverse par rapport à Γ\Gamma d’une droite passant par OO est elle même.

  2. 2.
    ​

    L’inverse par rapport à Γ\Gamma d’une droite ne passant pas par OO est un cercle passant par OO.

  3. 3.
    ​

    L’inverse par rapport à Γ\Gamma d’un cercle passant par OO est une droite ne passant pas par OO.

  4. 4.
    ​

    L’inverse par rapport à Γ\Gamma d’un cercle ne passant pas par OO est un cercle ne passant pas par OO.

Démonstration.
  1. 1.
    ​

    Prenons Γ\Gamma est un cercle de centre OO et de rayon rr. Prenons dd une droite passant par OO, et PP un point quelconque de la droite. Alors par définition de l’inversion, l’image du point PP doit aussi se trouver sur la droite. C’est à dire que l’image de la droite dd par inversion est un ensemble de point inclut sur cette même droite.

    D’un autre côté, si PP est un point de la droite dd et P′P^{\prime} est son inverse, alors P′P^{\prime} est aussi sur la droite dd et son image est PP par le théorème des propriétés élémentaires de l’inversion (Théorème 6.1.1). On a donc que tous les points de dd sont l’image d’un point de dd. L’inverse de la droite dd doit donc être elle même.

  2. 2.
    ​

    Prenons Γ\Gamma est un cercle de centre OO et de rayon rr et prenons dd une droite ne passant pas par OO. On dénote par PP le point de dd se trouvant le plus proche de OO. Par le théorème de la plus courte distance (Théorème 2.6.4), on a que ∠⁢O⁢P⁢Q=90∘\angle OPQ=90^{\circ}. Si P′P^{\prime} est l’inverse du point PP, on construit un cercle de diamètre O⁢P′OP^{\prime} que l’on dénote par CC. On veut montrer que l’image par inversion de la droite dd est le cercle CC.

    Pour ce faire, prenons premièrement un point QQ sur la droite dd qui est différent du point PP. On dénote l’inverse de QQ par Q′Q^{\prime}. Par définition de l’inversion, nous avons donc:

    O⁢P⋅O⁢P′=O⁢Q⋅O⁢Q′=r2⇒O⁢PO⁢Q=O⁢Q′O⁢P′OP\cdot OP^{\prime}=OQ\cdot OQ^{\prime}=r^{2}\leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \frac{OP}{OQ}=\frac{OQ^{\prime}}{OP^{\prime}}

    Par cAc, les triangles △⁢O⁢P⁢Q\triangle OPQ et △⁢O⁢P′⁢Q′\triangle OP^{\prime}Q^{\prime} sont semblables, ce qui permet d’affirmer que ∠⁢P′⁢Q′⁢O=∠⁢O⁢P⁢Q=90∘\angle P^{\prime}Q^{\prime}O=\angle OPQ=90^{\circ}. Par le théorème de l’arc capable (Théorème 5.2.4), il s’en suit que Q′Q^{\prime} se trouve sur le cercle de diamètre O⁢P′OP^{\prime}, c’est à dire qu’il se trouve sur CC.

    D’un autre côté, supposons que R′R^{\prime} se trouve sur le cercle CC et dénotons son inverse par RR. Par le théorème de Thalès pour les cercles (Théorème 5.1.1), nous avons ∠⁢R′⁢O⁢P′=90∘\angle R^{\prime}OP^{\prime}=90^{\circ}. De plus, par définition de l’inverse, nous avons

    O⁢P⋅O⁢P′=O⁢R⋅O⁢R′=r2⇒O⁢PO⁢R=O⁢R′O⁢P′OP\cdot OP^{\prime}=OR\cdot OR^{\prime}=r^{2}\leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \frac{OP}{OR}=\frac{OR^{\prime}}{OP^{\prime}}

    Les triangles △⁢O⁢P′⁢R′\triangle OP^{\prime}R^{\prime} et △⁢O⁢P⁢R\triangle OPR sont semblable, et donc:

    ∠⁢R⁢P⁢O=∠⁢O⁢P′⁢R′=90∘\angle RPO=\angle OP^{\prime}R^{\prime}=90^{\circ}

    Comme ∠⁢R⁢P⁢O+∠⁢O⁢P⁢Q=180∘\angle RPO+\angle OPQ=180^{\circ}, les points R,PR,P et QQ sont alignés sur une même droite. On a donc RR est sur la droite dd. On a donc que tout les éléments du cercle CC sont l’image par inversion d’un point de la droite dd.

  3. 3.
    ​

    Par la partie précédente, nous savons que l’image d’une droite ne passant pas par OO est un cercle passant par OO. Par le théorème des propriétés élémentaires de l’inversion (Théorème 6.1.1), nous avons donc que l’inverse d’un cercle passant par OO est une droite ne passant pas par OO.

  4. 4.
    ​

    Prenons Γ\Gamma est un cercle de centre OO et de rayon rr et prenons Γ1\Gamma_{1} un cercle ne passant pas par OO. On dessine une droite passant par OO et le centre du cercle Γ1\Gamma_{1}. Cette droite coupe le cercle Γ1\Gamma_{1} en deux points que l’on dénote AA et BB. Posons A′A^{\prime} et B′B^{\prime} l’inverse de AA et BB par rapport à Γ\Gamma et dénotons par Γ2\Gamma_{2} le cercle de diamètre A′⁢B′A^{\prime}B^{\prime}.

    Prenons CC un point de Γ1\Gamma_{1} différent de AA et BB. On veut montrer que son image par inversion C′C^{\prime} se trouve sur Γ2\Gamma_{2}. Par définition de l’inverse, nous savons que:

    O⁢C⋅O⁢C′=O⁢A⋅O⁢A′⇒O⁢CO⁢A=O⁢A′O⁢C′OC\cdot OC^{\prime}=OA\cdot OA^{\prime}\leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \frac{OC}{OA}=\frac{OA^{\prime}}{OC^{\prime}}

    On a donc que les triangles △⁢O⁢A⁢C\triangle OAC et △⁢O⁢A′⁢C′\triangle OA^{\prime}C^{\prime} sont semblable par cAc, ce qui signifie que ∠⁢O⁢C′⁢A′=∠⁢C⁢A⁢O\angle OC^{\prime}A^{\prime}=\angle CAO (Théorème 2.6.1).

    Maintenant, remarquons que la droite O⁢COC traverse le cercle Γ1\Gamma_{1} en un second point que l’on dénote DD. Par définition de l’inversion nous savons que O⁢B⋅O⁢B′=O⁢C⋅O⁢C′OB\cdot OB^{\prime}=OC\cdot OC^{\prime}. De plus, par la puissance d’un point, nous savons aussi que O⁢C⋅O⁢D=O⁢A⋅O⁢BOC\cdot OD=OA\cdot OB. En combinant ces équations, on obtient donc:

    O⁢C′O⁢B′=O⁢BO⁢C=O⁢DO⁢A\frac{OC^{\prime}}{OB^{\prime}}=\frac{OB}{OC}=\frac{OD}{OA}

    Ceci signifie que le triangle △⁢O⁢C′⁢B′\triangle OC^{\prime}B^{\prime} est semblable à △⁢O⁢D⁢A\triangle ODA par cAc, et donc ∠⁢O⁢C′⁢B′≅∠⁢O⁢D⁢A\angle OC^{\prime}B^{\prime}\cong\angle ODA (Théorème 2.6.1).

    Comme les points O,A,BO,A,B sont alignés et de même pour O,D,CO,D,C, on a ∠⁢C⁢A⁢O=180−∠⁢B⁢A⁢C\angle CAO=180-\angle BAC et ∠⁢O⁢D⁢A=180−∠⁢A⁢D⁢C\angle ODA=180-\angle ADC. De plus, comme le quadrilatère A⁢B⁢C⁢DABCD est inscriptible, on a ∠⁢A⁢D⁢C=180−∠⁢C⁢B⁢A\angle ADC=180-\angle CBA (Théorème 5.4.1). À partir de ce que nous avons obtenu, on a donc:

    ∠⁢B′⁢C′⁢A′\displaystyle\angle B^{\prime}C^{\prime}A^{\prime} =\displaystyle= ∠⁢O⁢C′⁢A′−∠⁢O⁢C′⁢B′=∠⁢C⁢A⁢O−∠⁢O⁢D⁢A=(180−∠⁢B⁢A⁢C)−(180−∠⁢A⁢D⁢C)\displaystyle\angle OC^{\prime}A^{\prime}-\angle OC^{\prime}B^{\prime}=\angle CAO% -\angle ODA=(180-\angle BAC)-(180-\angle ADC)
    =\displaystyle= ∠⁢A⁢D⁢C−∠⁢B⁢A⁢C=180−∠⁢C⁢B⁢A−∠⁢B⁢A⁢C\displaystyle\angle ADC-\angle BAC=180-\angle CBA-\angle BAC

    Maintenant, par la somme des angles internes d’un triangle (Théorème 2.2.2), on a donc:

    ∠⁢B′⁢C′⁢A′=∠⁢A⁢C⁢B\angle B^{\prime}C^{\prime}A^{\prime}=\angle ACB

    Par le théorème de Thalès pour les cercles (Théorème 5.1.1), on a donc ∠⁢B′⁢C′⁢A′=∠⁢A⁢C⁢B=90∘\angle B^{\prime}C^{\prime}A^{\prime}=\angle ACB=90^{\circ}. Finalement, par le théorème de l’arc capable (Théorème 5.2.4), on peut donc conclure que C′C^{\prime} est sur le cercle Γ2\Gamma_{2}.

    On a donc que l’image de tout les points de Γ1\Gamma_{1} par inversion son sur le cercle Γ2\Gamma_{2}. Il ne nous reste plus qu’à démontrer que tout les points de Γ2\Gamma_{2} proviennent d’un point sur Γ1\Gamma_{1}, ce qui vous est laissé en exercice.

∎

Remarquer que le théorème précédent (Théorème 6.2.1) nous permet de conclure que les droites qui sont invariantes par inversion sont exactement les droites qui passent par le centre du cercle d’inversion. Ceci soulève cependant une question intéressante. Quels sont les cercles qui sont invariants par inversion ? Remarquons premièrement que, comme les points se trouvant à l’intérieur du cercle d’inversion se retrouvent à l’extérieur et vice-versa, nécessairement, pour qu’un cercle reste invariant, il doit avoir deux points d’intersection avec le cercle d’inversion, disons SS et TT. Si on dénote par OO le centre du cercle d’inversion et par RR le centre du cercle invariant, on dessine la droite O⁢ROR et on dénote par PP et QQ les points d’intersection de la droite avec le cercle invariant. Par invariance du cercle, nécessairement, QQ doit être l’inverse de PP. On a donc:

O⁢P⋅O⁢Q=O⁢S2\displaystyle OP\cdot OQ=OS^{2} ⇒\displaystyle\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ (O⁢R−P⁢R)⁢(O⁢R+R⁢Q)=O⁢S2\displaystyle(OR-PR)(OR+RQ)=OS^{2}
⇒\displaystyle\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ (O⁢R−R⁢S)⁢(O⁢R+R⁢S)=O⁢S2\displaystyle(OR-RS)(OR+RS)=OS^{2}
⇒\displaystyle\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ O⁢R2−R⁢S2=O⁢S2\displaystyle OR^{2}-RS^{2}=OS^{2}
⇒\displaystyle\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ O⁢S2+R⁢S2=O⁢R2\displaystyle OS^{2}+RS^{2}=OR^{2}

Par la réciproque du théorème de Pythagore, on a donc que ∠⁢O⁢S⁢R=90∘\angle OSR=90^{\circ}. C’est-à-dire que les tangentes aux deux cercles sont perpendiculaires.

Définition 6.2.1.

On dit que deux cercles sont orthogonaux si les deux cercles s’intersectent et que leurs tangentes aux points d’intersection sont perpendiculaires.

Théorème 6.2.2:

Inversion et cercles orthogonaux. Si Γ\Gamma et Γ′\Gamma^{\prime} sont deux cercles orthogonaux, alors l’inverse de Γ′\Gamma^{\prime} par rapport au cercle Γ\Gamma est le cercle Γ′\Gamma^{\prime}.

Démonstration.

Supposons que Γ\Gamma est un cercle de cercle OO et Γ′\Gamma^{\prime} est un cercle de centre RR. On suppose de plus que les deux cercles sont orthogonaux, c’est à dire que si SS et TT sont les points d’intersection entre les deux cercles, alors ∠⁢O⁢S⁢R=∠⁢R⁢T⁢O=90∘\angle OSR=\angle RTO=90^{\circ}. Si de plus on dénote par PP et QQ les points d’intersection entre la droite O⁢ROR et le cercle Γ′\Gamma^{\prime}. Par définition d’un cercle, on a que P⁢R≅R⁢S≅R⁢QPR\cong RS\cong RQ. De plus,

O⁢P⋅O⁢Q=(O⁢R−P⁢R)⁢(O⁢R+R⁢Q)=(O⁢R−R⁢S)⁢(O⁢R+R⁢S)=O⁢R2−R⁢S2=O⁢S2OP\cdot OQ=(OR-PR)(OR+RQ)=(OR-RS)(OR+RS)=OR^{2}-RS^{2}=OS^{2}

On a donc que QQ est l’inverse du point PP par rapport au cercle Γ\Gamma.

D’après le théorème sur l’effet de l’inversion sur les droites et les cercles (Théorème 6.2.1), on sait que l’inverse de Γ′\Gamma^{\prime} est un cercle. Nous avons vu que ce cercle doit passer par S,TS,T et QQ. Comme un seul cercle passe par trois points, l’inversion de Γ′\Gamma^{\prime} doit donc être lui même. ∎