6.1 L’inversion

Il existe de nombreuses transformations du plan qui jouent un rôle important en géométrie euclidienne. Les translations, réflexions et rotations sont parmi les plus connues. Dans les trois cas, il s’agit d’isométries. C’est-à-dire d’une transformation qui transforme une figure en une autre qui lui est congruente. Bien entendu, la composition de deux de ces transformations nous donne aussi une isométrie. En fait, on peut démontrer que toutes les isométries peuvent être obtenues par la composition d’au plus trois réflexions.

Une autre transformation importante est l’homothétie. Un terme que l’on utilise pour dénoter à la fois les grossissements et les rapetissements. De manière générale, une homothétie ne transforme pas une figure en une nouvelle figure congruente, mais plutôt en une figure qui lui est semblable.

L’inversion, bien que possédant plusieurs similarités avec les transformations précédentes, ne permet pas en général de transformer une figure en une autre figure semblable. Elle permet cependant de transformer des droites et des cercles en des droites et des cercles. Ceci est particulièrement utile, car appliquée de façon stratégique, l’inversion nous permet de réduire le nombre de cercles dans une figure en les transformant en droites qui sont plus faciles à étudier.

Définition 6.1.1.

Si $\Gamma$ est un cercle de centre $O$ et de rayon $r$ , alors on définit l’inverse d’un point $P$ par rapport à $\Gamma$ comme étant un point $P^{\prime}$ sur la droite $OP$ , du même côté que $P$ par rapport au centre $O$ et satisfaisant l’équation

OP\cdot OP^{\prime}=r^{2}

Il est facile de voir que si un point $P$ se trouve sur le cercle d’inversion, alors il s’agit de son propre inverse. De plus, si $P^{\prime}$ est l’inverse d’un point $P$ , alors $P$ est l’inverse du point $P^{\prime}$ . Par contre, un problème important se pose. Le centre $O$ du cercle d’inversion ne possède pas d’inverse dans le plan euclidien. L’inversion n’est donc techniquement pas une transformation du plan, car ce ne sont pas tous les points du plan qui possèdent un inverse. Pour remédier à ce problème, nous allons ajouter un point à l’infini au plan euclidien qui sera l’inverse du centre du cercle d’inversion. À noter que le même point à l’infini est ajouté à la fin de chaque droite et ce dans les deux directions. Ce nouveau plan ainsi obtenu porte le nom de plan inversif.

Théorème 6.1.1:

Propriétés élémentaires de l’inversion. Si $\Gamma$ est un cercle de centre $O$ et de rayon $r$ , alors:

1.

L’inverse par rapport à $\Gamma$ d’un point se trouvant sur le cercle $\Gamma$ est lui même.
2.

Si $P^{\prime}$ est l’inverse du point $P$ par rapoprt à $\Gamma$ , alors $P$ est l’inverse du point $P^{\prime}$ par rapport à $\Gamma$ .
3.

L’inverse par rapport à $\Gamma$ du point $O$ est le point à l’infini.
4.

L’inverse par rapport à $\Gamma$ du point à l’infini est le point $O$ .

Démonstration.

1.

Si $P$ se trouve sur le cercle $\Gamma$ , alors par définition $OP$ est un rayon du cercle, et donc $OP=r$ . On a donc $OP\cdot OP=r^{2}$ , c’est à dire que $P$ est son propre inverse.
2.

Par définition, si $P^{\prime}$ est l’inverse de $P$ par rapport à $\Gamma$ , alors $OP\cdot OP^{\prime}=r^{2}$ , ce qui est équivalent par commutativité du produit à écrire $OP^{\prime}\cdot OP=r^{2}$ . On a donc que $P$ est l’inverse de $P^{\prime}$ .
3.

Il s’agit de notre définition du point à l’infini.
4.

Il n’est pas possible de démontrer formellement cette propriété, car techniquement il nous faudrait l’ajouter à notre définition. Cependant, si on veut que l’inversion soit consistante pour tout le plan inversif, le point à l’infini doit satisfaire la 2e propriété comme tout autre point. L’inverse du point à l’infini doit donc être défini comme étant $O$ .

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