5.4 Quadrilatère inscriptible

Nous allons maintenant nous pencher sur la question des polygônes inscriptibles, et plus particulièrement le cas des quadrilatères. On dit qu’un polygône est inscriptible (dans un cercle) s’il existe un cercle passant par chacun de ses sommets.

Définition 5.4.1.

On dit qu’un quadrilatère est convexe si le segment joignant chaque paire de sommets est entièrement contenu à l’intérieur du polygone.

Remarquer qu’affirmer qu’un quadrilatère est convexe est équivalent à affirmer qu’aucun de ses côtés ne se croisent et que chacun de ses angles mesure entre $0$ et $180$ degré.

Définition 5.4.2.

On dit qu’un quadrilatère $ABCD$ est croisé si ses côtés se croisent. C’est-à-dire que deux des segments formant les côtés du quadrilatère ont un point d’intersection.

Noter qu’un quadrilatère croisé n’est habituellement pas considéré comme étant un quadrilatère, mais dans le contexte des quadrilatères inscriptibles, il est particulièrement utile de le faire. ceci est dû au fait que si $A,B,C$ et $D$ sont quatre points sur un cercle, alors les quadrilatères $ABCD$ , $ABDC$ et $ACBD$ sont tous inscriptibles. Nécessairement, un seul de ces quadrilatères sera convexe, alors que les deux autres seront croisés.

Théorème 5.4.1:

Théorème des quadrilatères convexes inscriptibles. Un quadrilatère convexe $ABCD$ est inscriptible dans un cercle si et seulement si les angles opposés sont supplémentaires.

Démonstration.

( $\Rightarrow$ ) Considérons des points $A,B,C,D$ dans cet ordre sur un cercle de centre $O$ . On a donc que les angles $\angle CBA$ et $\angle ADC$ sont tous deux inscrits. Si on suppose que leurs mesures sont respectivement $\alpha$ et $\beta$ , leurs angles au centre correspondants auront comme mesure $2\alpha$ et $2\beta$ respectivement. Comme les deux angles au centre forment ensemble un tour de cercle complet, on a donc $2\alpha+2\beta=360$ , ce qui nous donne en simplifiant $\alpha+\beta=180$ . Les angles $\angle CBA$ et $\angle ADC$ sont donc supplémentaires. De la même façon, on peut aussi obtenir que les deux autres angles du quadrilatère sont aussi supplémentaires.

( $\Leftarrow$ ) Pour l’autre direction, supposons que $ABCD$ est un quadrilatère convexe pour lequel les angles opposés sont supplémentaires. Supposons que $E$ est un point quelconque sur le cercle circonscrit du triangle $\triangle ABC$ . D’après le théorème sur les angles inscrits (Théorème 5.2.1), dépendant de quel côté du segment $AC$ se trouve le point $E$ , on a soit $\angle AEC=\angle ABC$ ou $\angle AEC=180-\angle ABC$ . En particulier, il existe au moins un point $E$ sur le cercle circonscrit du triangle $\triangle ABC$ pour lequel $\angle AEC=180-\angle ABC$ . Maintenant, si on considère l’ensemble des points du plan pour lesquels $\angle AEC=180-\angle ABC$ et qui se trouvent du côté opposé au point $B$ par rapport à la droite $AC$ forment un arc de cercle d’après le théorème de l’arc capable (Théorème 5.2.4). Comme cet arc de cercle contient les points $A,E,C$ qui font partie de cet arc de cercle, ainsi que du cercle circonscrit du triangle $\triangle ABC$ , l’arc capable doit donc faire partie du cercle circonscrit du triangle $ABC$ . Finalement, comme $\angle ADC=180-\angle ABC$ , le point $D$ fait partie de cet arc capable, et donc du cercle circonscrit du triangle $\triangle ABC$ . Les points $A,B,C$ et $D$ sont donc tous sur un même cercle, ce qui signifie que le quadrilatère convexe $ABCD$ est inscriptible.

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Théorème 5.4.2:

Théorème des quadrilatères croisés inscriptibles. Un quadrilatère croisé $ABCD$ est inscriptible dans un cercle si et seulement si les angles opposés sont congrus.

Démonstration.

Exercice. ∎

Théorème 5.4.3:

Théorème de Ptolémée. Si $ABCD$ est un quadrilatère convexe inscriptible, alors l’équation suivante est satisfaite:

AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD

Démonstration.

Exercice. Indice: Dessiner un point $E$ sur la droite $BD$ tel que $\angle BAC\cong\angle EAD$ comme sur la figure ci-dessous. ∎