5.1 Théorème de Thalès pour les cercles

Théorème 5.1.1:

Théorème de Thalès pour les cercles. Supposons que $A$ et $B$ sont des points d’un cercle de sorte que $AB$ en soit un diamètre. Supposons que plus que $C$ soit un autre point du cercle, alors $\angle ACB=90^{\circ}$ .

Démonstration.

Supposons que $AB$ est un diamètre d’un cercle de centre $O$ , et $C$ un autre point du cercle. Comme $OA,OB$ et $OC$ sont tous les trois des rayons du cercle, alors on a:

OA\cong OB\cong OC

Par le théorème des triangles isocèles (Théorème 2.3.1) on a donc que:

\angle OAC\cong\angle ACO\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \textrm{ et }\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \angle OCB\cong\angle CBO

Par la somme des angles internes d’un triangle (Théorème 2.2.2), on a donc:

	$\displaystyle 180^{\circ}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\angle OAC+\angle ACB+\angle CBO=\angle OAC+\angle ACO+\angle OCB% +\angle CBO$
		$\displaystyle=$	$\displaystyle\angle ACO+\angle ACO+\angle OCB+\angle OCB=2\angle ACO+2\angle OCB$

À divisant le tout par $2$ , on obtient donc:

90^{\circ}=\angle ACO+\angle OCB=\angle ACB

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