6.3 Distance et inversion

Nous allons maintenant regarder quel est l’effet de l’inversion sur les distances et sur le rayon des cercles.

Théorème 6.3.1:

Théorème de la distance sous inversion. Si $\Gamma$ est un cercle de centre $O$ et de rayon $r$ , et $A,B$ deux points quelconques du plan. Si on dénote par $A^{\prime}$ et $B^{\prime}$ respectivement leurs images selon une inversion par rapport à $\Gamma$ , alors:

A^{\prime}B^{\prime}=\frac{r^{2}}{OA\cdot OB}AB

Démonstration.

Exercice. ∎

Le théorème précédent en combinaison avec le théorème de la section précédente possède une application particulièrement intéressante: une nouvelle démonstration du théorème de Ptolémée. Pour ce faire, considérons un quadrilatère $ABCD$ inscriptible dans un cercle. Posons $\Gamma$ le cercle de centre $A$ et de rayon $AB$ . On veut trouver l’image des points $A,B,C,D$ selon une inversion par rapport à $\Gamma$ . Pour ce faire, remarquons que le cercle circonscrit du quadrilatère $ABCD$ passe par $O$ , ce qui signifie que son image sur une droite ne passant pas par $O$ . De plus, comme $\Gamma$ traverse le cercle circonscrit de $ABCD$ en deux points, l’image de ce cercle sera donc la droite passant par ces deux points que l’on dénote par $d$ . $A$ étant le centre du cercle $\Gamma$ , il sera transformé au point à l’infini, le point $B$ se trouvant sur $\Gamma$ sera inchangé, pour ce qui est de $C$ et $D$ , leur image $C^{\prime}$ et $D^{\prime}$ sera le point d’intersection entre $d$ et les droites $AC$ et $AD$ respectivement.

Comme les points $B,C^{\prime}$ et $D^{\prime}$ sont alignés, il est facile de voir que:

BC^{\prime}+C^{\prime}D^{\prime}=BD^{\prime}

Maintenant, en appliquant le théorème de la distance sous inversion (Théorème 6.3.1), on obtient:

\frac{r^{2}}{AB\cdot AC}BC+\frac{r^{2}}{AC\cdot AD}CD=\frac{r^{2}}{AB\cdot AD}BD

Ce qui nous donne en simplifiant:

AD\cdot BC+AB\cdot CD=AC\cdot BD

Ce qui correspond au théorème de Ptolémée (Théorème 5.4.3). L’inversion nous a donc permis d’obtenir une nouvelle démonstration du théorème de Ptolémée.

Théorème 6.3.2:

Théorème du rayon d’un cercle sous inversion. Si $\Gamma$ et $\Gamma_{1}$ sont des cercles de centre $O,O_{1}$ et de rayon $r,r_{1}$ respectivement, alors le rayon du cercle obtenu après une inversion de $\Gamma_{1}$ selon le cercle $\Gamma$ est donné par l’expression suivante:

r^{\prime}_{1}=\frac{r^{2}}{OO_{1}^{2}-r_{1}^{2}}\leavevmode\nobreak\ r_{1}

Démonstration.

Exercice. ∎

À partir du théorème précédent, il nous est maintenant possible de démontrer que si les cercles ci-dessous sont deux par deux tangents et que $AB,BC$ et $AC$ sont les diamètres des trois plus grands cercles, alors le rayon $r$ du petit cercle est donné par la formule suivante:

r=\frac{ab(a+b)}{a^{2}+ab+b^{2}}

Pour ce faire, il suffit d’inverser la figure par rapport à un cercle centré en $A$ et de rayon $AC$ .

Remarquez qu’il est aussi possible d’obtenir le même résultat à l’aide du théorème de Stewart (Théorème 3.1.1).