5.6 Droite de Simson

Théorème 5.6.1:

Droite de Simson. Un point $P$ se trouve sur le cercle circonscrit d’un triangle $\triangle ABC$ si et seulement si la projection orthogonale de $P$ sur chacun des côtés du triangle nous donne trois points qui se trouvent sur une même droite.

Démonstration.

( $\Rightarrow$ ) Supposons que $P$ est un point sur le cercle circonscrit du triangle $\triangle ABC$ .

Étape 1: Par définition de la projection orthogonale, nous savons que les angles $\angle CFP$ et $\angle PEC$ sont tout deux des angles droits. On a donc d’après le théorème des quadrilatères inscriptibles (Théorème 5.4.1 ou 5.4.2) que le quadrilatère $PFCE$ peut être inscrit dans un cercle.
Étape 2: Par la première étape, nous savons que les points $P,F,C$ et $E$ se trouve tous sont un même cercle. Le quadrilatère croisé $PCEF$ est donc inscriptible. Par le théorème des quadrilatères croisés inscriptibles (Théorème 5.4.2), on a donc: $\angle FEC=\angle FPC$ .
Étape 3: Comme les angles $\angle AFP$ et $\angle PDA$ sont tous deux des angles droits par définition de la projection orthogonale, alors le quadrilatère $PFAD$ est inscriptible. On doit donc avoir $\angle FPD+\angle DAF=180$ . Ceci signifie que ∠FPC + ∠CPE + ∠EPD + ∠DAF = 180
Étape 4: Comme le point $P$ est par hypothèse sur le cercle circonscrit du triangle $ABC$ , les points $A,B,C$ et $P$ sont donc tous sur un même cercle. Le quadrilatère $CPBA$ est un donc inscriptible, ce qui nous donne $\angle CPB+\angle BAC=180$ . Ceci nous permet d’obtenir ∠CPE + ∠EPD + ∠DPB + ∠BAC = 180 En remarquant que $\angle DAF=\angle BAC$ , l’équation que nous venons d’obtenir en combinaison avec l’équation de l’étape précédente nous permet d’affirmer que $\angle FPC=\angle DPB$ .
Étape 5: Comme les angles $\angle BEP$ et $\angle BDP$ sont tous les deux droits, on peut affirmer que le quadrilatère $PDBE$ est inscriptible. Les points $P,B,D$ et $E$ sont donc tous sur un même cercle.
Étape 6: Comme les points $P,B,D$ et $E$ sont tous sur un même cercle par l’étape précédente, on peut donc affirmer que le quadrilatère $PDEB$ est inscriptible. Ceci nous permet donc d’obtenir $\angle DPB=\angle DEB$ . Finalement, en combinant ce que nous venons d’obtenir avec nos résultats des étapes 2 et 4, on obtient donc $\angle FEC=\angle FPC=\angle DPB=\angle DEB$ . Les points $F,E$ et $D$ sont donc alignés.

( $\Leftarrow$ ) Supposons que la projection du point $P$ sur chacun des côtés du triangle $ABC$ nous donne 3 points qui sont aligné. Dans ce cas on veut démontrer que le point $P$ fait partie du cercle circonscrit du triangle $\triangle ABC$ . L’idée de la démonstration est très semblable à ce que nous venons de faire. Ce sont essentiellement l’ordre des étapes qui est différent. Cette partie vous est laissé en exercice.

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