5.5 Aire et circonférence d’un cercle

Nous sommes maintenant en mesure de démontrer les formules familières pour le calcul de la circonférence d’un cercle et de l’aire d’un disque. Nous avons cependant un problème. Rien de ce que nous avons fait jusqu’à présent ne nous permet de calculer exactement la circonférence d’un cercle. Ceci est dû au fait que nous n’avons aucune définition du nombre $\pi$ .

Définition 5.5.1.

La circonférence $C$ d’un cercle de rayon $r$ est définit comme étant $C=2\pi r$ , où $\pi$ est une constante.

Notez que la définition précédente est en fait une définition du nombre $\pi$ . Nous allons maintenant utiliser cette définition pour établie la formule pour calculer l’aire d’un disque.

Théorème 5.5.1:

Aire d’un disque. L’aire $A$ d’un disque de rayon $r$ est donné par la formule suivante:

A=\pi r^{2}

Démonstration.

L’idée est de relier l’aire d’un disque avec la circonférence du cercle. Pour ce faire, nous allons inscrire le cercle dans un polygone régulier à $n$ côtés. En posant la longueur d’un de ces côtés par $x$ , il est facile de voir que le périmètre du polygone est $P_{n}=nx$ . Maintenant, notons qu’un polygone régulier à $n$ côtés peut être découpé en $n$ triangles isocèles congrus. Si $r$ est la mesure du rayon du cercle, alors $r$ est aussi la hauteur d’un des triangles. On obtient donc que l’aire de chacun des triangles est $\frac{rx}{2}$ , et donc l’aire du polygone est $A_{n}=\frac{nrx}{2}$ . Maintenant, remarquons que $\frac{A_{n}}{P_{n}}=\frac{nrx/2}{nx}=\frac{r}{2}$ , et donc ce rapport est constant et ne dépend

pas du nombre de côté du polygone. En remarquant qu’un augmentant le nombre de côté du polygone, ce dernier s’approche de plus en plus du cercle. On obtient donc que le rapport entre l’aire $A$ du disque et la circonférence $C$ du cercle est donné par $\frac{A}{C}=\frac{r}{2}$ . Par notre définition, nous savons que $C=2\pi r$ , ce qui nous permet finalement d’obtenir:

A=\frac{r}{2}C=\frac{r}{2}\cdot 2\pi r=\pi r^{2}

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