4.9 Le paradoxe des anniversaires

Le paradoxe des anniversaires n’est pas vraiment un paradoxe, mais plutôt un résultat surprenant et considéré par plusieurs comme étant contre intuitif. La question est de savoir combien de personnes au minimum il est nécessaire d’avoir dans une même pièce pour avoir au moins 50%\displaystyle 50\% de chance qu’au moins deux personnes soient nées le même jour. Avant d’attaquer ce problème, nous allons commencer par un problème lié, mais plus simple.

Combien de personnes au minimum est-il nécessaire d’avoir dans une même pièce pour être certain qu’au moins deux personnes soient nées le même jour ? En incluant les années bissextiles, le principe des nids de pigeons nous affirme que 367\displaystyle 367 personnes sont nécessaires pour être certain que deux personnes soient nées le même jour. Ceci correspond à la question de savoir combien de personnes il est nécessaire d’avoir dans une même pièce pour avoir 100%\displaystyle 100\% de chance qu’au moins deux personnes soient nées le même jour.

Basé sur notre réponse précédente, on sait donc que la solution du problème avec 50%\displaystyle 50\% doit être entre 2\displaystyle 2 et 367\displaystyle 367 personnes. Pour trouver la solution exacte, le plus simple est de travailler avec le complément. Il est facile de voir que, dans un groupe de n\displaystyle n personnes, il y a 365n\displaystyle 365^{n} façons de distribuer leur anniversaire durant l’année. De plus, il y a 366!(366−n)!\displaystyle\frac{366!}{(366-n)!} façons de distribuer les anniversaires de sorte que nous n’ayons pas deux personnes ayant le même anniversaire. La probabilité que, dans un groupe de n\displaystyle n personnes, il n’y ait pas deux personnes ayant le même anniversaire est donc:

366!366n⁢(366−n)!\displaystyle\frac{366!}{366^{n}(366-n)!}

Puis, en prenant le complément, on obtient que la probabilité qu’il n’y ait pas deux personnes ayant le même anniversaire est donnée par:

1−366!366n⁢(366−n)!\displaystyle 1-\frac{366!}{366^{n}(366-n)!}

La difficulté apparaît lorsque vient le temps de trouver la valeur de n\displaystyle n qui nous permet d’obtenir une probabilité de 50%\displaystyle 50\%. Il n’est pas possible d’isoler le n\displaystyle n dû à la présence des factorielles. Pour trouver la valeur de n\displaystyle n, il est donc nécessaire de faire des approximations à l’aide, par exemple, de la formule de Stirling, ou d’utiliser un logiciel comme Python. Pour les besoins de notre cours, nous allons prendre la seconde approche.

Python est tout à fait capable d’évaluer notre expression pour différente valeurs de n\displaystyle n sans aucune difficulté. Par contre, le nombre 366!\displaystyle 366! est immense et peut causer problème si on choisit d’utiliser d’autre logiciel à la place tel que Microsoft Excel, ou bien si on souhaite faire le calcul à l’aide d’une calculatrice standard. On peut remédier au problème en évaluant plutôt les différentes valeurs de notre suite à l’aide d’une récurrence. Si on dénote par xn\displaystyle x_{n} la probabilité que les n\displaystyle n personnes aient des anniversaires différentes, on a donc:
xn\displaystyle\displaystyle x_{n} =\displaystyle\displaystyle= 366!366n⁢(366−n)!=366⋅365⋅364⁢…⁢(366−n+1)366⋅366⋅366⋅…⋅366\displaystyle\displaystyle\frac{366!}{366^{n}(366-n)!}=\frac{366\cdot 365\cdot 3% 64...(366-n+1)}{366\cdot 366\cdot 366\cdot...\cdot 366}
=\displaystyle\displaystyle= (366366)⁢(365366)⁢(364366)⁢…⁢(366−n+1366)\displaystyle\displaystyle\left(\frac{366}{366}\right)\left(\frac{365}{366}% \right)\left(\frac{364}{366}\right)...\left(\frac{366-n+1}{366}\right)
=\displaystyle\displaystyle= (366−n+1366)⁢xn−1,∀n≥2\displaystyle\displaystyle\left(\frac{366-n+1}{366}\right)x_{n-1},\leavevmode% \nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \forall n\geq 2
En utilisant cette récurrence avec la valeur initiale x1=1\displaystyle x_{1}=1, on obtient le tableau ci-contre. Il ne nous reste plus qu’à prendre le complément et à chercher dans notre tableau la valeur de n\displaystyle n correspondant à 50%\displaystyle 50\%. On obtient donc qu’il faut un minimum de 23\displaystyle 23 personnes pour avoir une probabilité de 50%\displaystyle 50\% d’avoir au moins deux personne né la même journée.