4.6 Résumer des 4\displaystyle 4 façons de choisir des objets

Les 4 façons de compter que nous avons étudié dans cette section sont résumé dans le théorème ci-dessous sous forme d’un tableau.

Théorème 4.6.1:

Choisir des objects. Les 4\displaystyle 4 façons de choisir des objets que nous avons étudier dans les sections précédentes peuvent être résumé dans le tableau ci-dessous:

Combien y a-t-il de façon de choisir k\displaystyle k objets parmi n\displaystyle n ?

Sans remise Avec remise
Sans ordre (nk)=nk¯k!=n!k!⁢(n−k)!\displaystyle\binom{n}{k}=\frac{n^{\underline{k}}}{k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!} ⟨nk⟩=nk¯k!=(n+k−1k)=(n+k−1)!k!⁢(n−1)!\displaystyle\left\langle n\atop k\right\rangle=\frac{n^{\overline{k}}}{k!}=% \binom{n+k-1}{k}=\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}
Avec ordre nk¯=n!(n−k)!\displaystyle n^{\underline{k}}=\frac{n!}{(n-k)!} nk\displaystyle n^{k}

Avec les relations de récurrence suivante:

(nk)=(n−1k−1)+(n−1k) et ⟨nk⟩=⟨n−1k⟩+⟨nk−1⟩\displaystyle\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}\leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \textrm{ et }\leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \left\langle n\atop k\right\rangle=% \left\langle n-1\atop k\right\rangle+\left\langle n\atop k-1\right\rangle

De plus, nous avons obtenu les deux séries génératrices suivantes:

∑k=0∞(nk)⁢xk=(1+x)n∑k=0∞⟨nk⟩⁢xk=1(1−x)n\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\binom{n}{k}x^{k}=(1+x)^{n}\leavevmode\nobreak% \ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \sum_{k=0}^{\infty}\left\langle n% \atop k\right\rangle x^{k}=\frac{1}{(1-x)^{n}}