4.10 Le problème de la NHL

Les séries éliminatoires de la ligue nationale de hockey (NHL) sont dites 4 de 7. C’est à dire que deux équipes s’affrontent jusqu’à ce qu’une équipe remporte $\displaystyle 4$ parties. Pour qu’une équipe obtienne 4 victoires, et donc gagne la série, il est facile de voir qu’un minimum de 4 parties et un maximum de 7 parties sont nécessaires. Combien de configurations sont possibles pour une telle série éliminatoire ?

Méthode 1: Premièrement, remarquons que le problème est complètement symétrique. Il y a le même nombre de configurations qui accordent la victoire à une équipe A que de configurations qui accordent la victoire à une équipe B. Nous allons donc seulement traiter le premier cas et multiplier notre solution par 2. Remarquons ensuite que 4 cas sont possibles : Victoire en 4 parties, en 5 parties, en 6 parties ou en 7 parties.

1. $\displaystyle\bullet$
   ​

   Victoire en $\displaystyle 4$ parties: Ici une seule configuration est possible, 4 victoires consécutives.

2. $\displaystyle\bullet$
   ​

   Victoire en $\displaystyle 5$ parties: Pour que cela soit le cas, on doit avoir une défaite parmi les 4 premières parties, et le reste des victoires. Il suffit donc de choisir une partie parmi 4 pour une défaite, ce qui nous donne $\displaystyle 4$ possibilités.

3. $\displaystyle\bullet$
   ​

   Victoire en $\displaystyle 6$ parties: Pour que cela soit possible, comme la dernière partie est une victoire, il faut choisir $\displaystyle 2$ parties parmi $\displaystyle 5$ pour une défaite, ce qui doit être fait sans ordre et sans remise. On a donc $\displaystyle\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!\cdot 3!}=10$ possibilités.

4. $\displaystyle\bullet$
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   Victoire en $\displaystyle 7$ parties: Cette fois, il faut choisir $\displaystyle 3$ parties parmi $\displaystyle 6$, ce qui peut être accompli de $\displaystyle\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!\cdot 3!}=20$ façons.

En additionnant le nombre de possibilités pour chacun des cas, nous obtenons donc $\displaystyle 1+4+10+20=35$ façons pour que l’équipe A puisse remporter la série. Par symétrie, ceci nous donne donc un total de $\displaystyle 70$ configurations pour une série 4 de 7.

Méthode 2: La difficulté de la première méthode réside dans le fait que $\displaystyle 4$ cas doivent être traités indépendamment. Il existe cependant une façon simple de résoudre le même problème en un seul cas. Les $\displaystyle 4$ cas viennent du fait qu’il n’est pas possible de savoir exactement le nombre de parties qui seront jouées. Pour contourner le problème, il suffit d’attribuer une valeur aux parties qui ne sont pas jouées. En procédant comme dans la méthode précédente, en remarquant que le problème est complètement symétrique, nous allons traiter uniquement le cas où l’équipe A gagne et multiplier notre solution par $\displaystyle 2$. Nous savons que dans ce cas, l’équipe A doit obtenir exactement $\displaystyle 4$ victoires ; pour les autres parties qui sont jouées, nous savons qu’elles doivent être des défaites, mais le nombre de défaites varie en fonction du nombre de parties jouées. En supposant que les parties qui ne sont pas jouées sont des défaites, on obtient donc que chacune des configurations possibles contient exactement $\displaystyle 4$ victoires et $\displaystyle 3$ défaites. Le problème revient donc à ordonner $\displaystyle 4$ V et $\displaystyle 3$ D, ce qui peut être accompli de $\displaystyle\frac{7!}{4!\cdot 3!}=35$ façons. En multipliant le tout par $\displaystyle 2$, on obtient donc que le nombre de configurations totales possibles est:

Conclusion : Remarquez que les deux méthodes que nous avons illustrées ci-dessus peuvent être généralisées à n’importe quel format de série éliminatoire de la forme $\displaystyle k,2k-1$. Nous avons donc obtenu une égalité intéressante: