4.8 Les probabilités

La combinatoire, les probabilités et les statistiques sont trois disciplines ayant de très nombreux liens. En effet, lorsque l’on fait des tests d’hypothèse ou des intervalles de confiance, nous cherchons à déterminer des probabilités. Pour calculer une probabilité, on fait le quotient entre le nombre de façons d’obtenir un événement souhaité et le nombre d’événements total. Bien que notre cours se concentre essentiellement sur la combinatoire, il nous sera donc intéressant d’appliquer nos connaissances à des problèmes de probabilités.

Définition 4.8.1.

On définit la probabilité d’un événement comme étant:

Probabilité=Nombre de façon d’obtenir un événement souhaitéNombre total d’événement possible\displaystyle\textrm{Probabilit\'{e}}=\frac{\textrm{Nombre de fa\c{c}on d'% obtenir un \'{e}v\'{e}nement souhait\'{e}}}{\textrm{Nombre total d'\'{e}v\'{e}% nement possible}}

On remarque facilement qu’une probabilité doit obligatoirement être une valeur entre 0\displaystyle 0 et 1\displaystyle 1. On la dénote souvent en termes de pourcentage, mais ce n’est pas obligatoire. De plus, la somme de toutes les probabilités doit obligatoirement être 1\displaystyle 1.

Exemple 4.8.1.

Parmi un groupe de 7\displaystyle 7 hommes et 8\displaystyle 8 femmes, on souhaite élire un comité de 4\displaystyle 4 personnes. Quelle est la probabilité que ce comité soit mixte ? Pour ce faire, commençons par calculer le nombre de comité total possible. Comme nous avons un total de 15\displaystyle 15 personnes, il y a d’après le principe du produit 15⋅14⋅13⋅12\displaystyle 15\cdot 14\cdot 13\cdot 12 façon de choisir 4\displaystyle 4 personnes (de manière ordonné), et pour chacune des configurations, il y a 4!\displaystyle 4! façons de les réarranger. Par le principe du quotient nous avons donc 15⋅14⋅13⋅124!=1365\displaystyle\frac{15\cdot 14\cdot 13\cdot 12}{4!}=1365 comités possible. Maintenant, nous devons déterminer parmi tout les comités, combien y en a-t-il qui sont mixtes. Pour ce faire, il est plus facile de considérer le complément. On a donc en applicant la même technique que précédemment:

  1. 1.
    ​

    Comités formés de 4\displaystyle 4 hommes: 7!4!⋅3!=35\displaystyle\frac{7!}{4!\cdot 3!}=35.

  2. 2.
    ​

    Comités formés de 4\displaystyle 4 femmes: 8!4!⋅4!=70\displaystyle\frac{8!}{4!\cdot 4!}=70.

Il y a donc un total de 1365−35−70=1260\displaystyle 1365-35-70=1260 comités mixte. Maintenant, il ne nous reste plus qu’à déterminer la probabilité que le comité soit mixte. En applicant la définition d’une probabilité, on a donc:

Probabilité=12601365≈0,923=92,3%\displaystyle\textrm{Probabilit\'{e}}=\frac{1260}{1365}\approx 0,923=92,3\%