7.5 La méthode de dérivation symbolique

La méthode du polynôme caractéristique est particulièrement utile, mais s’applique unique pour des équations homogènes. La méthode de dérivation symbolique permet de transformer une équation qui n’est pas homogène, en une équation homogène de sorte que nous allons pouvoir appliquer la méthode du polynôme caractéristique pour des équations qui ne sont pas homogène. Nous allons illustrer la méthode à l’aide d’exemple.

Exemple 7.5.1.

On veut résoudre l’équation définie par récurrence suivante:

{an=5⁢an−1+2,∀n≥1a0=3\displaystyle\left\{\begin{array}[]{l}a_{n}=5a_{n-1}+2,\leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \forall n\geq 1\\ a_{0}=3\end{array}\right.

Pour ce faire, remarquons que an−1=5⁢an−2+2\displaystyle a_{n-1}=5a_{n-2}+2, on donc en isolant le 2\displaystyle 2 de chacune des expressions nous avons:

{2=an−5⁢an−12=an−1−5⁢an−2⇒an−5⁢an−1=an−1−5⁢an−2⇒an−6⁢an−1+5⁢an−2=0\displaystyle\left\{\begin{array}[]{l}2=a_{n}-5a_{n-1}\\ 2=a_{n-1}-5a_{n-2}\end{array}\right.\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \Rightarrow% \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \leavevmode\nobreak\ a_{n}-5a_{n-1}=a_{n-1}-5a_{n-2}\leavevmode% \nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ a_{n}-6a_{n-1}+% 5a_{n-2}=0

Ce qui est un équation linéaire homogène à coefficients constants. En appliquant la méthode du polynôme caractéristique, nous devons premièrement trouver les racines du polynôme r2−6⁢r+5=0\displaystyle r^{2}-6r+5=0. Il est facile de voir que r2−6⁢r+5=(r−5)⁢(r−1)\displaystyle r^{2}-6r+5=(r-5)(r-1), ce qui nous permet d’affirmer que la solution aura la forme suivante:

an=C1+C2⁢(5n)\displaystyle a_{n}=C_{1}+C_{2}(5^{n})

Pour trouver les constantes, nous avons besoin de deux valeurs initiales. Nous savons déjà que a0=3\displaystyle a_{0}=3, pour obtenir une seconde, il nous suffit d’utiliser la récurrence donné au début du problème, ce qui nous permet d’obtenir a1=5⁢(3)+2=17\displaystyle a_{1}=5(3)+2=17. Pour trouver les constantes, il nous faut donc résoudre le système d’équations linéaires suivant:

{C1+C2⁢(50)=3C1+C2⁢(51)=17⇒{C1+C2=3C1+5⁢C2=17\displaystyle\left\{\begin{array}[]{l}C_{1}+C_{2}(5^{0})=3\\ C_{1}+C_{2}(5^{1})=17\end{array}\right.\leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \left\{\begin{array}[]{l}C_{1}+C_{2}% =3\\ C_{1}+5C_{2}=17\end{array}\right.

En faisant la soustraction de la seconde équation par la première, on obtient 4⁢C2=14\displaystyle 4C_{2}=14, ce qui nous donne C2=72\displaystyle C_{2}=\frac{7}{2}. En remplaçant dans la première équation, on obtient donc: C1=3−72=−12\displaystyle C_{1}=3-\frac{7}{2}=-\frac{1}{2}. La solution de la récurrence est donc:

an=7⋅5n−12,∀n≥0\displaystyle a_{n}=\frac{7\cdot 5^{n}-1}{2},\leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \forall n\geq 0
Exemple 7.5.2.

On veut résoudre la suite définie par récurrence suivante:

{an=5⁢an−1+n,∀n≥1a0=2\displaystyle\left\{\begin{array}[]{l}a_{n}=5a_{n-1}+n,\leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \forall n\geq 1\\ a_{0}=2\end{array}\right.

Pour ce faire, nous allons commencer par essayer de ramener cette équation à une équation homogène. Pour ce faire, nous avons:

{an=5⁢an−1+nan−1=5⁢an−2+(n−1)⇒{n=an−1−5⁢an−2+1n=an−5⁢an−1⇒an=6⁢an−1−5⁢an−2+1\displaystyle\left\{\begin{array}[]{l}a_{n}=5a_{n-1}+n\\ a_{n-1}=5a_{n-2}+(n-1)\end{array}\right.\leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \left\{\begin{array}[]{l}n=a_{n-1}-5a_{n-2}+1\\ n=a_{n}-5a_{n-1}\end{array}\right.\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ a_{n}=6a_{n-1}-5a_{n-2}+1

Puis, on applique à nouveau la même technique avec cette dernière équation, ce qui nous donne:

{an=6⁢an−1−5⁢an−2+1an−1=6⁢an−2−5⁢an−3+1⇒{1=an−6⁢an−1+5⁢an−21=an−1−6⁢an−2+5⁢an−3⇒an=7⁢an−1−11⁢an−2+5⁢an−3\displaystyle\left\{\begin{array}[]{l}a_{n}=6a_{n-1}-5a_{n-2}+1\\ a_{n-1}=6a_{n-2}-5a_{n-3}+1\end{array}\right.\leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \left\{\begin{array}[]{l}1=a_{n}-6a_{n-1}+5a_{n% -2}\\ 1=a_{n-1}-6a_{n-2}+5a_{n-3}\end{array}\right.\leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \Rightarrow\leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \leavevmode\nobreak\ a_{n}=7a_{n-1}-11a_{n-2}+5a_{n-3}

Cette dernière équation est linéaire homogène et à coefficients constants. Il nous faut cependant 3\displaystyle 3 valeurs initiales, ce qui est deux de plus que nous avons. Pour les trouver nous allons utiliser la récurrence originale.

a1=5⁢a0+1=5⁢(2)+1=11 et a2=5⁢a1+2=5⁢(11)+2=57\displaystyle a_{1}=5a_{0}+1=5(2)+1=11\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak% \ \leavevmode\nobreak\ \textrm{ et }\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ a_{2}=5a_{1}+2=5(11)+2=57

Le problème ce ramène donc à résoudre la suite définie par récurrence suivante:

{an=7⁢an−1−11⁢an−2+5⁢an−3a0=2a1=11a2=57\displaystyle\left\{\begin{array}[]{l}a_{n}=7a_{n-1}-11a_{n-2}+5a_{n-3}\\ a_{0}=2\\ a_{1}=11\\ a_{2}=57\end{array}\right.

Pour la résoudre, on applique la méthode du polynôme caractéristique. On doit donc trouver les racines du polynôme λ3−7⁢λ2+11⁢λ−5\displaystyle\lambda^{3}-7\lambda^{2}+11\lambda-5. En appliquant le théorème des racines rationnelles et la règle des signes de Descartes, on obtient la factorisation suivante:

λ3−7⁢λ2+11⁢λ−5=(λ−1)2⁢(λ−5)\displaystyle\lambda^{3}-7\lambda^{2}+11\lambda-5=(\lambda-1)^{2}(\lambda-5)

La formule explicite aura donc la forme suivante:

an=C1+C2⁢n+C3⋅5n\displaystyle a_{n}=C_{1}+C_{2}n+C_{3}\cdot 5^{n}

Pour trouver les constantes, on doit résoudre le système d’équations linéaires suivant:

{C1+C3=2C1+C2+5⁢C3=11C1+2⁢C2+25⁢C3=57\displaystyle\left\{\begin{array}[]{l}C_{1}+C_{3}=2\\ C_{1}+C_{2}+5C_{3}=11\\ C_{1}+2C_{2}+25C_{3}=57\end{array}\right.

Ce qui nous donne C1=−516\displaystyle C_{1}=\frac{-5}{16}, C2=−14\displaystyle C_{2}=\frac{-1}{4} et C3=3716\displaystyle C_{3}=\frac{37}{16}. La forme explicite est donc:

an=−516−n4+37⋅5n16,∀n≥0\displaystyle a_{n}=\frac{-5}{16}-\frac{n}{4}+\frac{37\cdot 5^{n}}{16},% \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \forall n\geq 0