5.7 Quelques problèmes supplémentaires

Dans une classe de $\displaystyle 8$ étudiants, de combien de façons différentes peut-on former une équipe de $\displaystyle 3$ étudiants ? Le problème revient à choisir $\displaystyle 3$ objets parmi $\displaystyle 8$ sans ordre et sans remise. Il s’agit donc d’utiliser le coefficient binomial. On a donc:

Dans une classe de $\displaystyle 8$ étudiants, de combien de façons différentes peut-on former $\displaystyle 3$ équipe s’il n’y a pas de contrainte sur le nombre d’étudiants dans chaque équipe ? Le problème revient à placer $\displaystyle 8$ boules différentes dans $\displaystyle 3$ urnes identiques si les urnes ne peuvent pas être vide, autrement nous n’aurons pas exactement $\displaystyle 3$ équipes. La solution est donc donné par les nombres de Stirling de deuxième espèce. On a donc:

Dans une classe de $\displaystyle 8$ étudiants, de combien de façons différentes peut-on former $\displaystyle 3$ équipes, si les équipes doivent contenir respectivement $\displaystyle 3,3$ et $\displaystyle 2$ étudiants ? Dans ce cas, il nous faut revenir au principe de base. On commence par ordonné tous les étudiants, ce qui peut être fait de $\displaystyle 8!$ façons. Comme l’ordre des étudiants dans une équipe n’est pas importante, on divise ensuite par $\displaystyle 3!\cdot 3!\cdot 2!$. Puis comme l’ordre des deux équipes de $\displaystyle 3$ étudiants n’est pas importante, on divise ensuite par $\displaystyle 2!$. Remarquez que l’équipe de $\displaystyle 2$ sera pour sa part toujours différentes des deux autres. On obtient donc:

Dans une classe de $\displaystyle 8$ étudiants, de combien de façons différentes peut-on former des équipes, s’il n’y a aucune contrainte sur le nombre d’étudiants dans chaque équipe ? Le problème revient à se demander combien y a-t-il de partition sur un ensemble de $\displaystyle 8$ étudiants. La solution est donc donné par les nombres de Bell. On a donc:

Dans une classe de $\displaystyle 8$ étudiants, un professeur apporte une boite remplie de $\displaystyle 20$ biscuits au chocolat fait maison, qu’il place à l’avant de la classe pour que les étudiants puissent se servir. De combien de façons différentes les biscuits peuvent avoir été distribué parmi les étudiants si à la fin du cours la boite est complètement vide ? Le problème revient à placer $\displaystyle 20$ boules identiques dans $\displaystyle 8$ urnes différentes, Les urnes peuvent être vide, car nous ne savons pas si tout les étudiants ont pris au moins un biscuit. On a donc:

Dans une classe de $\displaystyle 8$ étudiants, un professeur apporte une boite remplie de $\displaystyle 20$ biscuits au chocolat fait maison, qu’il place à l’avant de la classe pour que les étudiants puissent se servir. De combien de façons différentes les biscuits peuvent avoir été distribué parmi les étudiants si à la fin du cours la boite n’est pas nécessairement complètement vide ? Le problème est essentiellement le même que pour l’exemple précédent, à l’exception qu’il nous faut maintenant considérer la boite de biscuit comme étant une urne additionnel. Il y a donc un total de $\displaystyle 9$ urnes

Dans une classe de $\displaystyle 8$ étudiants, un professeur apporte une boite remplie de $\displaystyle 20$ biscuits au chocolat fait maison, qu’il place à l’avant de la classe pour que les étudiants puissent se servir. De combien de façons différentes les biscuits peuvent avoir été distribué parmi les étudiants si à la fin du cours la boite est complètement vide et que tout les étudiants ont mangé au moins un biscuit ? Le problème revient à placer $\displaystyle 20$ boules identique dans $\displaystyle 8$ urnes différentes sans que les urnes ne soient vide. On a donc:

Cet automne, votre pommier a rapporté un total de $\displaystyle 50$ pommes (toutes absolument identique !!!) que vous entreposez dans des boites. De combien de façons différentes ceci peut-il être accompli ? Comme les pommes et les boites sont identiques, et q’il n’y a pas de contrainte sur le nombre de boite, le problème reviens à partitionner le nombre $\displaystyle 50$ comme une somme d’entier. La réponse est donc donné par le nombre de partition $\displaystyle p(50)$. On a donc:

Cet automne, votre pommier a rapporté un total de $\displaystyle 50$ pommes (toutes absolument identique !!!) que vous entreposez dans $\displaystyle 5$ boites. De combien de façons différentes ceci peut-il être accompli ? Le problème revient à placer $\displaystyle 50$ boules identiques dans $\displaystyle 5$ urnes identiques sans que les urnes ne soient vide. On a donc:

Cet automne, votre pommier a rapporté un total de $\displaystyle 50$ pommes (toutes absolument identique !!!) que vous entreposez dans des boites. Sachant qu’il ne vous reste que $\displaystyle 5$ boites disponible, de combien de façons différentes ceci peut-il être accompli? Le problème revient à placer $\displaystyle 50$ boules identiques dans $\displaystyle 5$ urnes identique si les urnes peuvent être vide. On a donc:

De combien de façon différente peut-on écrire le nombre $\displaystyle 20$ comme une somme d’entier positif ? Ici, comme il n’y a aucune mention du nombre de terme, ni de l’ordre des éléments, la solution est donné par les nombres de partitions. On a donc:

De combien de façon différente peut-on écrire le nombre $\displaystyle 20$ comme une somme de trois entiers positif ($\displaystyle>0$) ? Comme pour l’exemple précédent, ici il n’y a aucune référence à l’ordre des éléments. La solution est donc donné par les nombres de partitions. On a donc:

Combien de solution possède l’équation $\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=20$, si chacun des $\displaystyle x_{i}$ est un entier positif plus grand que $\displaystyle 0$ ? Le problème revient à placer $\displaystyle 20$ objets (tous des $\displaystyle 1$) dans trois urnes différentes (les $\displaystyle x_{i}$) sans que les urnes ne soient vide. Alternativement, le problème revient à choisir $\displaystyle 2$ espaces parmi $\displaystyle 19$ sans ordre et sans remise. La solution est donc:

Si $\displaystyle n$ est un entier positif s’écrivant sous la forme $\displaystyle n=p_{1}p_{2}p_{3}...p_{k}$, où les $\displaystyle p_{i}$ sont des nombres premiers distincts. De combien de façon peut-on écrire $\displaystyle n$ sous forme d’un produit d’entier positif si on ignore les facteurs $\displaystyle 1$, et on ne tient pas compte de l’ordre des facteurs ? Par le théorème fondamental de l’arithmétique, nous savons que la décomposition en nombre premier est unique. Ceci nous permet donc d’affirmer que la solution revient à partitionner les nombres $\displaystyle\{p_{1},p_{2},...,p_{k}\}$ en sous-ensemble, puis en considérant les facteurs comme étant le produit des éléments d’un sous-ensemble. La solution est donc le nombre de Bell $\displaystyle B_{k}$.